Considere o sistema linear
(b) Resolva o sistema em questão utilizando os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel partindo de
x^(0)=[lll1 & 0 & -1]^T e adotando uma tolerância
varepsilon=0.05 .
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é resolver o sisteminha
usando métodos iterativos (Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel). A matéria é Métodos Numéricos para sistemas lineares. Pra resolver, a gente vai precisar:
- Ver que o sistema é estritamente diagonalmente dominante (isso garante convergência).
- As fórmulas de iteração do Jacobi e do Seidel.
- O chute inicial
e a tolerância .
Passo 2
Teoria e fórmula de Gauss–Jacobi
- Um sistema
com diagonally dominante converge no método de Jacobi. - Você isola cada
na i-ésima equação usando só os valores antigos . -
- A gente repete até
.
Passo 3
Aplicando Gauss–Jacobi
Começando em x1^(1)=tfrac10-0+(-1)10=0.90, x2^(1)=tfrac20-2cdot1-6cdot(-1)10=2.40, x3^(1)=tfrac30-7cdot1-010=2.30 :
Começando em
k=1:
diferença máxima
x^(3)=(1.169,;0.524,;2.263), De0.05 . Continua.
k=2:
k=3:
k=4:
k=5:
k=6:
então paramos no
.
Passo 4
Teoria e fórmula de Gauss–Seidel
É a mesma ideia do Jacobi, só que a gente já usa os assim que eles aparecem:
É a mesma ideia do Jacobi, só que a gente já usa os
-
-
-
Mesma parada: para .
Passo 5
Resposta
Aproximações finais com
:
- Gauss–Jacobi em 6 iterações:
. - Gauss–Seidel em 5 iterações:
.