Considere o sistema linear
rl 10 x1+x2 & -x3=10 2 x1+10 x2+6 x3 & =20 7 x1+x2+10 x3 & =30
(b) Resolva o sistema em questão utilizando os métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel partindo de x^(0)=[lll1 & 0 & -1]^T e adotando uma tolerância varepsilon=0.05.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é resolver o sisteminha
10x1 + x2 - x3 = 10, 2x1 + 10x2 + 6x3 = 20, 7x1 + x2 + 10x3 = 30
usando métodos iterativos (Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel). A matéria é Métodos Numéricos para sistemas lineares. Pra resolver, a gente vai precisar:
  1. Ver que o sistema é estritamente diagonalmente dominante (isso garante convergência).
  2. As fórmulas de iteração do Jacobi e do Seidel.
  3. O chute inicial e a tolerância .

Passo 2

Teoria e fórmula de Gauss–Jacobi
  1. Um sistema com diagonally dominante converge no método de Jacobi.
  2. Você isola cada na i-ésima equação usando só os valores antigos .
  3. A gente repete até .

Passo 3

Aplicando Gauss–Jacobi
Começando em x1^(1)=tfrac10-0+(-1)10=0.90, x2^(1)=tfrac20-2cdot1-6cdot(-1)10=2.40, x3^(1)=tfrac30-7cdot1-010=2.30 :
k=1:
x^(2)=(0.99,;0.44,;2.13), De0.05
diferença máxima x^(3)=(1.169,;0.524,;2.263), De0.05 . Continua.
k=2:
x^(4)=(1.1739,;0.4084,;2.1293), De0.05
k=3:
x^(5)=(1.1721,;0.4876,;2.1374), De0.05
k=4:
x^(6)=(1.16498,;0.48312,;2.13077), De
k=5:
k=6:
então paramos no .

Passo 4

Teoria e fórmula de Gauss–Seidel
É a mesma ideia do Jacobi, só que a gente já usa os assim que eles aparecem:

  • Mesma parada: para .

Passo 5

Aplicando Gauss–Seidel
Com x^(1)=(0.90,;2.42,;2.128),De0.05 :
k=1:
x^(2)=(0.9708,;0.5290,;2.2675),De0.05
k=2:
x^(3)=(1.17385,;0.40471,;2.13773),De0.05
k=3:
x^(4)=(1.17330,;0.48270,;2.13822),De0.05
k=4:
x^(5)=(1.16555,;0.48396,;2.13572),De
k=5:
para no .

Resposta

Aproximações finais com :
  • Gauss–Jacobi em 6 iterações:
    .
  • Gauss–Seidel em 5 iterações:
    .

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