Considere um método iterativo qualquer para sistemas lineares, definido pela sequência x^(k)k=0^+infty tal que
x^(k+1)=P x^(k)+c
Pode-se mostrar que, se |P|<1, então:
  • esta sequência converge para a solução x^* do sistema linear A x=b, partindo de qualquer ponto inicial x^(0).
  • | x^(k)-x^*varepsilon|<= |P|^k1-|P|| x^(1)-x^(0) |
    (b) Considere o sistema linear
rlrl 10 x1+5 x2 & & 6 & 5 x1+10 x2-4 x3 & =25 -4 x2+8 x3-x4 & =-11 & -x3+5 x4 & =-11 & -118
Encontre o número mínimo de iterações necessárias para garantir que o Método de Gauss-Jacobi encontre uma solução aproximada deste sistema com uma tolerância varepsilon=10^-6, partindo do ponto inicial x^(0)=[llll0 & 0 & 0 & 0]^T, usando a estimativa obtida no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos um método iterativo para resolver x^(k+1) ;=; P,x^(k) + c dado por
|x^(k) - x^*| ;<=; |P|^k1-|P|,|x^(1)-x^(0)|
e sabemos pelo item (a) que, se , então a sequência converge e ainda vale a estimativa de erro
No item (b) somos jogados no Método de Gauss–Jacobi para um sistema 4×4, com e queremos achar o menor tal que

Para isso vamos precisar:
  1. Montar a matriz de iteração e o vetor no Jacobi.
  2. Escolher uma norma (vamos usar a norma-∞, “norma do máximo”).
  3. Calcular e ver que é <1 (convergência).
  4. Obter .
  5. Aplicar a fórmula do item (a) para resolver .
A partir do próximo passo já partimos para a mão na massa, sem pular nada.

Passo 2

Primeiro escrevo A= 10 & 5 & 0 & 0 5 &10 & -4& 0 0 &-4 & 8 & -1 0 &0 &-1 & 5 , b=625-11-tfrac118 com
D=diag(10,,10,,8,,5), L+U= 0 & -5 & 0 & 0 -5& 0 & 4 & 0 0 & 4 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0
No Jacobi se separa P = -D^-1(L+U) = 0 & -tfrac510 & 0 &0 -tfrac510&0&tfrac410&0 0&tfrac48&0&tfrac18 0&0&tfrac15&0 = 0 & -0.5 & 0 &0 -0.5& 0 & 0.4 &0 0 & 0.5 & 0 &0.125 0 & 0 & 0.2 &0 , com
c=D^-1b = 6/1025/10-11/8(-tfrac118)/5 =0.62.5-1.375-0.275
Então
e

Passo 3

Agora escolho a norma-∞ (norma do máximo das somas em cada linha).
Calculo as somas de cada linha de |P|infty = max0.5,,0.9,,0.625,,0.2 = 0.9 <1, :
  • linha 1:
  • linha 2:
  • linha 3:
  • linha 4: .
    Logo
o que garante convergência do Jacobi.

Passo 4

Precisamos de x^(1) = P,0 + c = c, . Como |x^(1)-x^(0)|infty = |c|infty = max0.6,,2.5,,1.375,,0.275=2.5 , temos
então

Passo 5

Usamos a fórmula de erro do item (a):
[
|x{(k)}-x*|\infty
\le
\frac{|P|
\inftyk}{1-|P|_\infty};|x{(1)}-x^{(0)}|_\infty

\frac{0.9^k}{1-0.9};2.5

\frac{0.9^k}{0.1};2.5

25\cdot 0.9^k.
]
Queremos |x^(k)-x^*|infty <= |P|infty^k1-|P|infty;|x^(1)-x^(0)|infty = 0.9^k1-0.9;2.5 = 0.9^k0.1;2.5 = 25cdot 0.9^k .
Isolando 0.9^k <= 10^-625 = 4times10^-8 ;Longrightarrow; k ,>=; ln(4times10^-8)ln(0.9) approx -17.035-0.10536 approx161.7 :
Como tem de ser inteiro e mínimo, escolhemos .

Resposta

Para garantir no Método de Gauss–Jacobi, partindo de , são necessárias 162 iterações.

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