(a) Encontre os valores de alpha para os quais os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel geram uma sequência convergente para a solução de A x=b, independentemente do ponto inicial x^(0).
Passo 1
Beleza, aqui a parada é sobre métodos iterativos de resolver : o de Gauss–Jacobi e o de Gauss–Seidel. A gente precisa achar para quais valores de esses métodos sempre convergem, não importando o chute inicial . O que vamos usar é a teoria de “dominância diagonal” nas linhas da matriz, que dá uma condição bem prática para garantir convergência de ambos os métodos.
Passo 2
Primeiro, lembra que a matriz A = alpha & 3 & 1 alpha & 7 & 1 1 & 6 & 8 é
A condição suficiente (e muito usada) para convergência de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel é que seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, em cada linha a magnitude do elemento da diagonal principal é maior que a soma das magnitudes dos outros elementos daquela linha.
Passo 3
Vamos escrever essa condição linha a linha:
Linha 1: |alpha| > 4 , ou seja
7 > |alpha| + 1 Longrightarrow |alpha| < 6
Linha 2: , ou seja
Linha 3: .
Isso já é verdade para qualquer , pois .
Passo 4
Juntando as duas condições não-triviais, a gente precisa de
|alpha| > 4 e |alpha| < 6
Em outras palavras,
4 < |alpha| < 6,
ou seja está entre e , ou entre e .
Resposta
Os métodos de Gauss–Jacobi e de Gauss–Seidel convergem para qualquer ponto inicial se, e somente se,