Resolva o sistema a seguir utilizando o método de Gauss-Jacobi, se possível. Considerando 3 casas decimais, arredondamento e precisão varepsilon=0,01 ou 5 iterações. Considere o vetor X^0 como sendo o vetor nulo.
[ccc 2 & 2 & 5 4 & 1 & -1 -1 & 3 & 1 ] X=[c 1 5 -4 ]

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
2 & 2 & 5 4 & 1 & -1 -1 & 3 & 1 X = 15-4
pelo método de Gauss–Jacobi, com vetor inicial X^(0)=(0,0,0), precisão varepsilon=0,01, 3 casas decimais (arredondamento a cada iteração) ou no máximo 5 iterações.

Passo 2

Para garantir convergência do método de Jacobi, costuma-se exigir que a matriz seja estritamente diagonal dominante em cada linha, ou seja, lvert aiirvert>sumjneq ilvert aijrvert. Aqui as linhas são:
linha 1: lvert2rvert vs. lvert2rvert+lvert5rvert=7
linha 2: lvert1rvert vs. lvert4rvert+lvert-1rvert=5
linha 3: lvert1rvert vs. lvert-1rvert+lvert3rvert=4
Em todas as linhas a desigualdade falha, logo a convergência não está garantida. Mesmo assim, aplicamos o método até 5 iterações ou até |X^(k+1)-X^(k)|infty<0,01.

Passo 3

As fórmulas de iteração de Jacobi são, para cada k>=0:
x1^(k+1)=1-2,x2^(k)-5,x3^(k)2, x2^(k+1)=5-4,x1^(k)+x3^(k), x3^(k+1)=-4 + x1^(k) -3,x2^(k),
arredondando cada xi^(k+1) a 3 casas decimais.

Passo 4

Iteração 1 ( X^(0)=(0,0,0)):
x1^(1)=1-0-02=0,5to0,500, x2^(1)=5-0+0=5to5,000, x3^(1)=-4+0-0=-4to-4,000
Iteração 2:
x1^(2)=1-2cdot5,000-5cdot(-4,000)2=1-10+202=5,500,
x2^(2)=5-4cdot0,500+(-4,000)=5-2-4=-1,000, x3^(2)=-4+0,500-3cdot5,000=-18,500

Passo 5

Iteração 3:
x1^(3)=1-2cdot(-1,000)-5cdot(-18,500)2=47,750, x2^(3)=5-4cdot5,500+(-18,500)=-35,500,
x3^(3)=-4+5,500-3cdot(-1,000)=4,500
Iteração 4:
x1^(4)=1-2cdot(-35,500)-5cdot4,5002=24,750, x2^(4)=5-4cdot47,750+4,500=-181,500,
x3^(4)=-4+47,750-3cdot(-35,500)=150,250

Passo 6

Iteração 5:
x1^(5)=1-2cdot(-181,500)-5cdot150,2502=-193,625, x2^(5)=5-4cdot24,750+150,250=56,250,
x3^(5)=-4+24,750-3cdot(-181,500)=565,250
O maior salto entre X^(5) e X^(4) é lvert -193,625-24,750rvertapprox218,375>0,01. Não satisfazimos |X^(5)-X^(4)|infty<0,01.

Resposta

O método de Gauss–Jacobi não converge dentro das 5 iterações nem atinge a precisão varepsilon=0,01.

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