Sendo dadas r(t)=(e^t,-cos (t), sen(t)) e s(t)=(t^2, sen(t), cos (t)), determine:
dd t(r(t) cdot s(t)).

Passo 1

Neste exercício queremos encontrar a derivada do produto escalar entre os vetores s(t)=(t^2,sin t,cos t) e . O conteúdo principal aqui é cálculo vetorial, em especial a regra da derivada do produto escalar, e vamos precisar saber derivar cada componente dos vetores.

Passo 2

Para derivar um produto escalar, usamos a seguinte regra:
ddtl(r(t)cdots(t)r)=r'(t)cdots(t)+r(t)cdots'(t)
Isso vem da linearidade da derivada e da definição do produto escalar.

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas das funções-vetor:
r'(t)=(e^t,sin t,cos t), s'(t)=(2t,cos t,-sin t)
Aqui derivamos componente a componente: e^t e^t, -cos t sin t, sin t cos t, e analogamente para s(t).

Passo 4

Agora calculamos o primeiro produto escalar da soma:
r'(t)cdots(t)=e^tcdot t^2+sin tcdotsin t+cos tcdotcos t=t^2e^t+sin^2t+cos^2t=t^2e^t+1
Usamos que sin^2t+cos^2t=1.

Passo 5

Em seguida calculamos o segundo produto escalar:
r(t)cdots'(t)=e^tcdot2t+(-cos t)cdotcos t+sin tcdot(-sin t)=2te^t-cos^2t-sin^2t=2te^t-1
De novo usamos sin^2t+cos^2t=1, mas com sinal negativo.

Passo 6

Somamos os dois resultados conforme a regra do passo 2:
ddt(rcdots)=(t^2e^t+1)+(2te^t-1)=t^2e^t+2te^t=e^t(t^2+2t)
Pronto, esse é o valor da derivada do produto escalar.

Resposta

ddt(r(t)cdots(t))=e^t,(t^2+2t)

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