Sendo dadas
e
, determine:
.
Passo 1
Neste exercício queremos encontrar a derivada do produto escalar entre os vetores
e
. O conteúdo principal aqui é cálculo vetorial, em especial a regra da derivada do produto escalar, e vamos precisar saber derivar cada componente dos vetores.
Passo 2
Para derivar um produto escalar, usamos a seguinte regra:
Isso vem da linearidade da derivada e da definição do produto escalar.
Passo 3
Calculamos primeiro as derivadas das funções-vetor:
Aqui derivamos componente a componente:
dá
,
dá
,
dá
, e analogamente para
.
Passo 4
Agora calculamos o primeiro produto escalar da soma:
Usamos que
.
Passo 5
Em seguida calculamos o segundo produto escalar:
De novo usamos
, mas com sinal negativo.
Passo 6
Somamos os dois resultados conforme a regra do passo 2:
Pronto, esse é o valor da derivada do produto escalar.