1- Sabendo que a equação paramétrica de uma reta é dada por r(t)=(1-t) P0+t P1, determine a equação da reta que parte do ponto (1,2) e passa por (3,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação da reta que começa no ponto (1,2) e passa pelo ponto (3,4). A matéria que vamos usar aqui é a de equações paramétricas de reta. Vamos precisar entender como usar a fórmula r(t) = (1-t) P0 + t P1 pra montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos dados: P0 = (1,2) e P1 = (3,4). Esses são os dois pontos que a reta passa. A equação paramétrica utiliza esses pontos para definir a reta.

Passo 3

A fórmula r(t) = (1-t) P0 + t P1 significa que para cada valor de t, a posição r(t) está entre P0 e P1. Quando t=0, r(t) = P0, e quando t=1, r(t) = P1. Assim, variando t, a reta é traçada entre esses pontos.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com nossos pontos:
r(t) = (1-t)(1,2) + t(3,4)
Agora, vamos distribuir o (1-t) e o t nos componentes dos pontos.

Passo 5

Distribuindo os termos:
r(t) = ((1-t)cdot1 + tcdot3, (1-t)cdot2 + tcdot4)
Isso simplifica para:
r(t) = (1 - t + 3t, 2 - 2t + 4t)

Passo 6

Simplificando as expressões:
r(t) = (1 + 2t, 2 + 2t)
Então, a equação paramétrica da reta fica assim.

Resposta

A equação paramétrica da reta é r(t) = (1 + 2t, 2 + 2t).

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