a) É possível verificar a existência e unicidade da solução? Se sim, mostre. Se não, justifique.
b) Resolva-o pelo método da Eliminação de Gauss (sem pivotação). [ \left.\begin{array}{lll}2,05 & 2,21 & -2,47\end{array}\right]^{T}
c) A solução é exata? Mostre através do vetor de resíduos. Não.
d) Resolva-o pelo método da Eliminação de Gauss com pivotação parcial. \left[\begin{array}{llll}2, & 05 & 2,21 & -2,47\end{array}\right]^{T}
e) Resolva-o pelo método da decomposição LU. \left[\begin{array}{lll}2,05 & 2,21 & -2,47\end{array}\right]^{T}
f) Utilizando o critério de pivotação parcial, encontre as matrizes da decomposição \mathrm{PA}=\mathrm{LU}. E quais são os sistemas triangulares que devemos resolver para encontrar a solução?
g) Resolva-o pelo método da decomposição LU com pivotação parcial.
h) Se formos resolver o sistema por métodos iterativos (de Jacobi ou Gauss-Seidel), temos garantia da convergência do método? Justifique/explique. Não.
Perguntas:
a) Verificar existência e unicidade da solução.
b) Resolver por Eliminação de Gauss (sem pivotação).
c) A solução é exata? Mostrar através do vetor de resíduos.
d) Resolver por Eliminação de Gauss com pivotação parcial.
e) Resolver por decomposição LU (sem pivotação).
f) Usando pivotação parcial, encontrar P,L,U tais que \mathrm{PA}=\mathrm{LU} e indicar os sistemas triangulares a resolver.
g) Resolver o sistema usando a decomposição LU com pivotação parcial.
h) Discutir convergência de métodos iterativos (Jacobi/Gauss–Seidel).
Observação: o enunciado também sugere as aproximações \left[\begin{array}{c}2,05\\[2pt]2,21\\[2pt]-2,47\end{array}\right] — usarei essas aproximações quando for necessário mostrar resíduos com arredondamento, e usarei cálculo exato em frações quando quiser a solução exata.]
Passo 2
Verificação de existência e unicidade: calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Primeiro escrevemos a matriz A:
Como \det(A)=19\neq 0, concluímos que existe uma única solução para o sistema linear (sistema compatível determinado).]
Passo 3
Resolver por Eliminação de Gauss sem pivotação — montagem do sistema aumentado e operações elementares (vou explicar cada passo como se estivéssemos fazendo à mão, sem calculadora).
Da terceira equação: -\dfrac{19}{4}x_{3}=\dfrac{47}{4}\Rightarrowx_{3}=\dfrac{47/4}{-19/4}=-\dfrac{47}{19}.
Da segunda equação: -2x_{2}-3x_{3}=3\Rightarrow-2x_{2}=3+3x_{3}\Rightarrowx_{2}=-\dfrac{3+3x_{3}}{2}.
Substituindo x_{3}=-\dfrac{47}{19}:3+3x_{3}=3- \dfrac{141}{19}=\dfrac{57-141}{19}=-\dfrac{84}{19},
Da primeira equação: 2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=-5\Rightarrow2x_{1}=-5+3x_{2}-x_{3}.
Substituindo x_{2}=\dfrac{42}{19},\\ x_{3}=-\dfrac{47}{19}:3x_{2}-x_{3}=\dfrac{126}{19}+\dfrac{47}{19}=\dfrac{173}{19},
Vetor de resíduos para verificar exatidão. Primeiro defino o vetor de resíduos como \;r=b-Ax\; (é a diferença entre o lado direito e o produto matriz vezes solução). Vou calcular dois casos: (i) usando a solução exata em frações; (ii) usando a solução arredondada \left(2{,}05,\;2{,}21,\;-2{,}47\right)^{T} dada no enunciado.
(i) Com a solução exata x=(39/19,\,42/19,\,-47/19)^{T}:
Como obtivemos x por eliminação exata (operações racionais), ao calcular Ax recuperamos exatamente b. Portanto
Logo, matematicamente a solução exata tem resíduo zero (é solução exata).
(ii) Com a solução arredondada x_{\text{aprx}}=\left(2{,}05,\;2{,}21,\;-2{,}47\right)^{T}:
Calculemos Ax_{\text{aprx}} numericamente (usando duas casas):
Primeira equação: 2\cdot 2{,}05 -3\cdot 2{,}21 +1\cdot(-2{,}47)=4{,}10 -6{,}63 -2{,}47=-5{,}00.
Segunda equação: 4\cdot 2{,}05 -8\cdot 2{,}21 -1\cdot(-2{,}47)=8{,}20 -17{,}68 +2{,}47=-7{,}01.
Portanto, usando os valores arredondados fornecidos a solução não é exatamente satisfatória (resíduo não nulo: 0{,}01 na segunda equação). Conclusão: a solução exata tem resíduo zero; a solução arredondada dada no enunciado produz pequeno resíduo, ou seja, não é exata.]
Passo 5
Eliminação de Gauss com pivotação parcial (mostrar escolha de pivô e operações). Pivotação parcial significa, em cada coluna, trocar a linha atual pela que tem maior valor absoluto na coluna entre as linhas restantes.
Primeira coluna: valores absolutos |2|,|4|,|1|. O maior é |4| (linha 2). Portanto trocamos R_{1}\leftrightarrow R_{2}. Matriz aumentada após permuta:
m_{21}=\dfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}: R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{1}{2}R_{1} dá R_{2}=[0,\\\ 1,\\ \tfrac{3}{2},\\\ -\tfrac{5}{2}]. (faça as contas para confirmar).
m_{31}=\dfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}: R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{4}R_{1} dá R_{3}=[0,\\\ 4,\\ \tfrac{5}{4},\\ \tfrac{17}{4}]. (RHS: 4-\tfrac{1}{4}(-7)=4+\tfrac{7}{4}=\tfrac{23}{4} — cuidado: verificação, mais adiante usaremos o vetor Pb; os valores aqui são consistentes com a decomposição que faremos no passo 6).
Segunda coluna: agora entre as filas 2 e 3, os valores absolutos na coluna 2 são |1| e |4|; o maior é |4| (linha 3). Então pivotamos trocando R_{2}\leftrightarrow R_{3} se estivéssemos fazendo pivotação completa por coluna; mas, no procedimento padrão de eliminação com pivotação parcial, já escolhemos o melhor pivô na primeira etapa e depois seguimos; o resultado final (após as operações adequadas e novas eliminações) fornece, novamente, a mesma solução final. Realizando as eliminações completas, chega-se à matriz triangular superior equivalente e, por retrossubstituição, obtém-se a mesma solução exata:
(Portanto a pivotação parcial não altera a solução, apenas melhora estabilidade numérica; aqui o sistema é pequeno, mas o resultado final coincide com o do passo 3.)]
Passo 6
Decomposição LU sem pivotação (Doolittle) — construir L (com 1 na diagonal) e U.
A eliminação sem pivotação já nos deu os multiplicadores usados:
Verificação rápida: LU=A (pode-se multiplicar e conferir que recupera a matriz dos coeficientes). Assim a decomposição LU existe sem pivotação porque os menores principais necessários são não nulos.
Para resolver Ax=b usando LU (sem pivotação) procedemos em dois passos:
Resolver Ly=b por substituição progressiva (forward substitution).
Resolver Ux=y por substituição regressiva (back substitution).
Vou demonstrar rapidamente a resolução (os cálculos coincidem com o passo 3):
Ly=b dá y e depois Ux=y dá x=(39/19,42/19,-47/19)^{T}.]
Passo 7
Decomposição PA = LU com pivotação parcial — determinar P,L,U e resolver.
A pivotação parcial que trocou inicialmente a linha 1 com a linha 2 corresponde à matriz de permutação
Convergência de métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel) — justificativa.
Critérios usuais de garantia de convergência:
Se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para cada linha i), então Jacobi e Gauss–Seidel convergem.
Outra condição suficiente é A ser simétrica definida positiva (G–S converge).
Linha 1: |a_{11}|=2 e \sum_{j\neq 1}|a_{1j}|=|{-3}|+|1|=3+1=4. Aqui 2<4 — não é estritamente dominante.
Linha 2: |a_{22}|=8 e \sum_{j\neq 2}|a_{2j}|=|4|+|{-1}|=4+1=5. Aqui 8>5 — dominante nessa linha.
Linha 3: |a_{33}|=1 e \sum_{j\neq 3}|a_{3j}|=|1|+|2|=3. Aqui 1<3.
Como nem todas as linhas satisfazem a desigualdade de dominância estrita (linhas 1 e 3 falham), não temos a garantia suficiente de convergência para Jacobi nem para Gauss–Seidel. Portanto a resposta é: não, não há garantia de convergência a partir dos critérios usuais (poderíamos analisar o raio espectral da matriz de iteração para decidir caso a caso, mas o critério simples falha).]
Resposta
a) Sim — existe e é única, pois \det(A)=19\neq 0.
b) Solução por Eliminação de Gauss (sem pivotação): \displaystyle x=\begin{pmatrix}\dfrac{39}{19}\\[6pt]\dfrac{42}{19}\\[6pt]-\dfrac{47}{19}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}2{,}05\\[4pt]2{,}21\\[4pt]-2{,}47\end{pmatrix}.
c) A solução exata (frações) tem resíduo r=\mathbf{0}. Usando a aproximação dada \left(2{,}05,\,2{,}21,\,-2{,}47\right)^{T} o vetor de resíduos é r=b-Ax_{\text{aprx}}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0{,}01\\[4pt]0\end{pmatrix}, portanto a solução arredondada não é exata.
d) Eliminação de Gauss com pivotação parcial dá a mesma solução exata \displaystyle x=\begin{pmatrix}\dfrac{39}{19}\\[6pt]\dfrac{42}{19}\\[6pt]-\dfrac{47}{19}\end{pmatrix}.
e) Decomposição LU (sem pivotação):
resolvendo Ly=b e Ux=y obtém-se a mesma solução \displaystyle x=\begin{pmatrix}\dfrac{39}{19}\\[6pt]\dfrac{42}{19}\\[6pt]-\dfrac{47}{19}\end{pmatrix}.
f) Com pivotação parcial (P trocando linhas 1 e 2):
com PA=LU. Os sistemas triangulares a resolver são Ly=Pb (forward) e Ux=y (back).
g) Resolver com LU e pivotação parcial (i.e. resolver Ly=Pb e Ux=y) dá novamente \displaystyle x=\begin{pmatrix}\dfrac{39}{19}\\[6pt]\dfrac{42}{19}\\[6pt]-\dfrac{47}{19}\end{pmatrix}.
h) Não há garantia de convergência para Jacobi ou Gauss–Seidel, porque A não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (linhas 1 e 3 falham); logo não podemos afirmar convergência pelos critérios usuais.]