Resolva o sistema linear A x=b através da fatoração L U com estratégia de pivoteamento parcial, onde:
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 7 & 2 \\\\ 2 & 5 & -3 & 1 \\\\ 9 & -6 & 4 & 1 \\\\ 4 & -3 & -6 & 7 \end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{c} -18 \\\\ 31 \\\\ 35 \\\\ 15 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz e o vetor
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 7 & 2 \\\\ 2 & 5 & -3 & 1 \\\\ 9 & -6 & 4 & 1 \\\\ 4 & -3 & -6 & 7 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-18\\[4pt]31\\[4pt]35\\[4pt]15\end{pmatrix}
e pede: resolver o sistema linear A x = b usando fatoração LU com pivoteamento parcial (isto é, encontrar uma permutação P, uma triangular inferior L com 1 na diagonal e uma triangular superior U tais que \,P A = L U, e então resolver A x=b usando P, L e U).\n
Informações relevantes dadas: os coeficientes da matriz A e as componentes do vetor b. Não há outras restrições dadas (só que devemos usar pivoteamento parcial).]

Passo 2

Breve explicação didática do método (pivoteamento parcial + LU):
  • A ideia do LU é escrever A (ou uma permutada P A) como produto de uma matriz triangular inferior L (com uns na diagonal) por uma triangular superior U. Isso permite resolver A x=b em dois passos fáceis:
    1. resolver L y = P b por substituição direta (forward), e
    2. resolver U x = y por substituição regressiva (backward).
  • Pivoteamento parcial: em cada coluna, antes de eliminar, escolhemos (entre as linhas restantes) a linha com maior valor absoluto na coluna pivô e, se necessário, trocamos linhas. Isso evita divisão por números pequenos e melhora estabilidade. Cada troca de linhas corresponde a multiplicar A à esquerda por uma matriz de permutação P; ao final obtemos P A = L U.
  • Em cada passo de eliminação armazenamos os multiplicadores (o que colocamos em L). Devemos acompanhar as trocas de linhas: quando trocamos linhas durante o processo, também trocamos as entradas já construídas de L nas colunas anteriores.
Agora aplicamos o procedimento passo a passo com toda a aritmética.

Passo 3

Passo 1 da eliminação (coluna 1): escolher o pivô na coluna 1 entre as linhas 1–4.
  • Os valores absolutos na coluna 1 são |1|,|2|,|9|,|4|. O maior é |9| (linha 3). Fazemos a troca de linha 1 com linha 3.
  • A permutação parcial até agora troca 1↔3. Aplicando essa troca a A obtemos (vou mostrar as linhas reordenadas):
P^{(1)}A= \begin{pmatrix} 9 & -6 & 4 & 1 \\[4pt] 2 & 5 & -3 & 1 \\[4pt] 1 & -2 & 7 & 2 \\[4pt] 4 & -3 & -6 & 7 \end{pmatrix}.
  • Calculamos os multiplicadores para eliminar abaixo do pivô 9: m_{21}=\frac{2}{9},\qquad m_{31}=\frac{1}{9},\qquad m_{41}=\frac{4}{9}.
  • Subtraímos m_{i1} vezes a linha 1 das linhas i=2,3,4. Fazendo as contas (mostro as entradas resultantes com frações):
    linha 2 → \displaystyle\bigl[0,\;\tfrac{19}{3},\;-\tfrac{35}{9},\;\tfrac{7}{9}\bigr],
    linha 3 → \displaystyle\bigl[0,\;-\tfrac{4}{3},\;\tfrac{59}{9},\;\tfrac{17}{9}\bigr],
    linha 4 → \displaystyle\bigl[0,\;-\tfrac{1}{3},\;-\tfrac{70}{9},\;\tfrac{59}{9}\bigr].
  • Após esse passo a matriz (após eliminação na coluna 1) é
\begin{pmatrix} 9 & -6 & 4 & 1\\[4pt] 0 & \tfrac{19}{3} & -\tfrac{35}{9} & \tfrac{7}{9}\\[4pt] 0 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{59}{9} & \tfrac{17}{9}\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{70}{9} & \tfrac{59}{9} \end{pmatrix}.
Anote os multiplicadores da primeira coluna (estes vão para L nas posições correspondentes, lembrando da troca inicial): \tfrac{2}{9},\tfrac{1}{9},\tfrac{4}{9} nas linhas originais pertinentes.]

Passo 4

Passo 2 da eliminação (coluna 2): pivotamos entre as linhas 2–4 na coluna 2.
  • Os valores absolutos na coluna 2 (linhas 2–4) são \tfrac{19}{3}, \tfrac{4}{3}, \tfrac{1}{3}. O maior é \tfrac{19}{3} (linha 2), então não é necessária troca.
  • Calculamos os multiplicadores para eliminar abaixo do pivô \tfrac{19}{3}: m_{32}=\frac{-\tfrac{4}{3}}{\tfrac{19}{3}}=-\frac{4}{19},\qquad m_{42}=\frac{-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{19}{3}}=-\frac{1}{19}.
  • Aplicando as eliminações:
    • linha 3 ← linha 3 − m_{32}·linha 2 → terceira linha torna-se \displaystyle\bigl[0,0,\tfrac{109}{19},\tfrac{39}{19}\bigr].
    • linha 4 ← linha 4 − m_{42}·linha 2 → quarta linha torna-se \displaystyle\bigl[0,0,-\tfrac{455}{57},\tfrac{376}{57}\bigr].
  • A matriz intermediária (após coluna 2) é
\begin{pmatrix} 9 & -6 & 4 & 1\\[4pt] 0 & \tfrac{19}{3} & -\tfrac{35}{9} & \tfrac{7}{9}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{109}{19} & \tfrac{39}{19}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{455}{57} & \tfrac{376}{57} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Passo 3 da eliminação (coluna 3): pivot entre as linhas 3–4 na coluna 3.
  • Os pivôs candidatos são \tfrac{109}{19}\approx 5{,}7368 e -\tfrac{455}{57}\approx -7{,}9825. O maior em módulo é -\tfrac{455}{57} (linha 4), portanto trocamos a linha 3 com a linha 4.
  • Essa troca (troca das linhas 3 e 4) corresponde a uma segunda troca na permutação global; quando trocamos aqui, devemos também trocar os elementos já lançados em L nas colunas anteriores para as linhas 3 e 4 (isto é parte do algoritmo do LU com pivoteamento parcial).
  • Após a troca, o pivô na posição (3,3) é -\tfrac{455}{57}. Calculamos o multiplicador para zerar a entrada abaixo: m_{43}=\frac{\tfrac{109}{19}}{-\tfrac{455}{57}}=-\frac{327}{455}\approx -0{,}7186813187.
  • Eliminando, a última linha (linha 4 após a troca) fica com zero na coluna 3 e a entrada (4,4) igual a u_{44}=\frac{176187}{25935}=\frac{58729}{8645}\approx 6{,}791056231.
  • Assim obtemos a matriz triangular superior U final (mostro em forma triangular):
U= \begin{pmatrix} 9 & -6 & 4 & 1\\[4pt] 0 & \tfrac{19}{3} & -\tfrac{35}{9} & \tfrac{7}{9}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{455}{57} & \tfrac{376}{57}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \dfrac{58729}{8645} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Matriz de permutação P e matriz L resultantes (resultado do processo com as trocas apropriadas e os multiplicadores armazenados).
  • A permutação final (linha 1 passou a ser a linha 3 original, e houve troca entre as linhas 3 e 4 na etapa 3) transforma a ordem original de linhas (1,2,3,4) em (3,2,4,1). A matriz de permutação P correspondente é
P= \begin{pmatrix} 0&0&1&0\\[4pt] 0&1&0&0\\[4pt] 0&0&0&1\\[4pt] 1&0&0&0 \end{pmatrix}.
  • A matriz L (triangular inferior, com 1 na diagonal) com os multiplicadores colocados nas posições adequadas (após ajustar pelas trocas feitas) fica:
L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{2}{9} & 1 & 0 & 0\\[6pt] \tfrac{4}{9} & -\tfrac{1}{19} & 1 & 0\\[6pt] \tfrac{1}{9} & -\tfrac{4}{19} & -\tfrac{327}{455} & 1 \end{pmatrix}.
Verificação conceitual: com essas P,L,U vale P A = L U (foi obtido pelo algoritmo mostrado).]

Passo 7

Agora resolvemos A x=b usando P,L,U. Primeiro calculamos P b (permutar o lado direito segundo a mesma P):
P b = \begin{pmatrix} b_3 \\[2pt] b_2 \\[2pt] b_4 \\[2pt] b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35 \\[2pt] 31 \\[2pt] 15 \\[2pt] -18 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolvemos L y = P b por substituição direta (forward substitution). Escrevo as equações e resolvo uma a uma.
  • Equação 1: y_1 = 35.
  • Equação 2: \displaystyle \tfrac{2}{9}y_1 + y_2 = 31 \Rightarrow y_2 = 31 - \tfrac{2}{9}\cdot 35 = 31 - \tfrac{70}{9} = \tfrac{209}{9}.
  • Equação 3: \displaystyle \tfrac{4}{9}y_1 -\tfrac{1}{19}y_2 + y_3 = 15.
    Substituindo y_1=35 e y_2=\tfrac{209}{9}:
    y_3 = 15 - \tfrac{4}{9}\cdot 35 + \tfrac{1}{19}\cdot \tfrac{209}{9} = 15 - \tfrac{140}{9} + \tfrac{209}{171} = \tfrac{38}{57}\;(\text{o que simplifica para } \tfrac{2}{3}).
  • Equação 4: \displaystyle \tfrac{1}{9}y_1 -\tfrac{4}{19}y_2 -\tfrac{327}{455}y_3 + y_4 = -18.
    Substituindo os valores anteriores e calculando:
    y_4 = -18 - \tfrac{1}{9}\cdot 35 + \tfrac{4}{19}\cdot \tfrac{209}{9} + \tfrac{327}{455}\cdot \tfrac{38}{57} = -\dfrac{142823}{8645}\approx -16{,}520879121.
Assim o vetor y é, em frações exatas,
y=\begin{pmatrix} 35\\[4pt] \tfrac{209}{9}\\[4pt] \tfrac{38}{57}\\[4pt] -\dfrac{142823}{8645} \end{pmatrix},
e, em aproximação decimal,
y\approx\begin{pmatrix} 35.000000\\[2pt] 23.222222\\[2pt] 0.6666667\\[2pt] -16.52087912 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolvemos [U x = y) por substituição regressiva (back substitution).
As equações (da última para a primeira) são:
\begin{cases} \dfrac{58729}{8645}\,x_4 = y_4,\\[6pt] -\dfrac{455}{57}\,x_3 + \dfrac{376}{57}\,x_4 = y_3,\\[6pt] \dfrac{19}{3}\,x_2 - \dfrac{35}{9}\,x_3 + \dfrac{7}{9}\,x_4 = y_2,\\[6pt] 9\,x_1 - 6\,x_2 + 4\,x_3 + x_4 = y_1. \end{cases}
Calculando de trás para frente (mostro os resultados numéricos, com precisão suficiente para conferência):
  • Da 4ª equação (última diagonal): (\displaystyle x_4 = \frac{y_4}{u_{44}} = \frac{-\tfrac{142823}{8645}}{\tfrac{58729}{8645}} = -\frac{142823}{58729}\approx -2{,}431937718.]
  • Da 3ª equação: \displaystyle x_3 = \frac{y_3 - u_{34} x_4}{u_{33}}.
    Substituindo y_3=\tfrac{38}{57}, u_{34}=\tfrac{376}{57}, u_{33}=-\tfrac{455}{57} e o x_4 acima,
    obtemos (em aproximação)
    x_3 \approx -2{,}093112179.
  • Da 2ª equação: \displaystyle x_2 = \frac{y_2 - u_{23}x_3 - u_{24}x_4}{u_{22}}.
    Substituindo y_2=\tfrac{209}{9}, u_{22}=\tfrac{19}{3}, u_{23}=-\tfrac{35}{9}, u_{24}=\tfrac{7}{9} e os x_3,x_4 calculados,
    obtemos (aproximação)
    x_2 \approx 2{,}679401.
  • Da 1ª equação: \displaystyle x_1 = \frac{y_1 + 6 x_2 -4 x_3 - x_4}{9} (reorganizada da equação original),
    substituindo os valores obtidos,
    obtemos (aproximação)
    x_1 \approx 6{,}8756436.
Todos esses valores, se substituídos em A x, devolvem b com erro numérico muito pequeno (confere-se a consistência).]

Resposta

x_1 \approx 6{,}8756436
x_2 \approx 2{,}6794010
x_3 \approx -2{,}0931122
x_4 \approx -2{,}4319377

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