e pede: resolver o sistema linear A x = b usando fatoração LU com pivoteamento parcial (isto é, encontrar uma permutação P, uma triangular inferior L com 1 na diagonal e uma triangular superior U tais que \,P A = L U, e então resolver A x=b usando P, L e U).\n
Informações relevantes dadas: os coeficientes da matriz A e as componentes do vetor b. Não há outras restrições dadas (só que devemos usar pivoteamento parcial).]
Passo 2
Breve explicação didática do método (pivoteamento parcial + LU):
A ideia do LU é escrever A (ou uma permutada P A) como produto de uma matriz triangular inferior L (com uns na diagonal) por uma triangular superior U. Isso permite resolver A x=b em dois passos fáceis:
resolver L y = P b por substituição direta (forward), e
resolver U x = y por substituição regressiva (backward).
Pivoteamento parcial: em cada coluna, antes de eliminar, escolhemos (entre as linhas restantes) a linha com maior valor absoluto na coluna pivô e, se necessário, trocamos linhas. Isso evita divisão por números pequenos e melhora estabilidade. Cada troca de linhas corresponde a multiplicar A à esquerda por uma matriz de permutação P; ao final obtemos P A = L U.
Em cada passo de eliminação armazenamos os multiplicadores (o que colocamos em L). Devemos acompanhar as trocas de linhas: quando trocamos linhas durante o processo, também trocamos as entradas já construídas de L nas colunas anteriores.
Agora aplicamos o procedimento passo a passo com toda a aritmética.
Passo 3
Passo 1 da eliminação (coluna 1): escolher o pivô na coluna 1 entre as linhas 1–4.
Os valores absolutos na coluna 1 são |1|,|2|,|9|,|4|. O maior é |9| (linha 3). Fazemos a troca de linha 1 com linha 3.
A permutação parcial até agora troca 1↔3. Aplicando essa troca a A obtemos (vou mostrar as linhas reordenadas):
Calculamos os multiplicadores para eliminar abaixo do pivô 9:m_{21}=\frac{2}{9},\qquad m_{31}=\frac{1}{9},\qquad m_{41}=\frac{4}{9}.
Subtraímos m_{i1} vezes a linha 1 das linhas i=2,3,4. Fazendo as contas (mostro as entradas resultantes com frações):
linha 2 → \displaystyle\bigl[0,\;\tfrac{19}{3},\;-\tfrac{35}{9},\;\tfrac{7}{9}\bigr],
linha 3 → \displaystyle\bigl[0,\;-\tfrac{4}{3},\;\tfrac{59}{9},\;\tfrac{17}{9}\bigr],
linha 4 → \displaystyle\bigl[0,\;-\tfrac{1}{3},\;-\tfrac{70}{9},\;\tfrac{59}{9}\bigr].
Após esse passo a matriz (após eliminação na coluna 1) é
Anote os multiplicadores da primeira coluna (estes vão para L nas posições correspondentes, lembrando da troca inicial): \tfrac{2}{9},\tfrac{1}{9},\tfrac{4}{9} nas linhas originais pertinentes.]
Passo 4
Passo 2 da eliminação (coluna 2): pivotamos entre as linhas 2–4 na coluna 2.
Os valores absolutos na coluna 2 (linhas 2–4) são \tfrac{19}{3}, \tfrac{4}{3}, \tfrac{1}{3}. O maior é \tfrac{19}{3} (linha 2), então não é necessária troca.
Calculamos os multiplicadores para eliminar abaixo do pivô \tfrac{19}{3}:m_{32}=\frac{-\tfrac{4}{3}}{\tfrac{19}{3}}=-\frac{4}{19},\qquad m_{42}=\frac{-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{19}{3}}=-\frac{1}{19}.
Aplicando as eliminações:
linha 3 ← linha 3 − m_{32}·linha 2 → terceira linha torna-se \displaystyle\bigl[0,0,\tfrac{109}{19},\tfrac{39}{19}\bigr].
linha 4 ← linha 4 − m_{42}·linha 2 → quarta linha torna-se \displaystyle\bigl[0,0,-\tfrac{455}{57},\tfrac{376}{57}\bigr].
Passo 3 da eliminação (coluna 3): pivot entre as linhas 3–4 na coluna 3.
Os pivôs candidatos são \tfrac{109}{19}\approx 5{,}7368 e -\tfrac{455}{57}\approx -7{,}9825. O maior em módulo é -\tfrac{455}{57} (linha 4), portanto trocamos a linha 3 com a linha 4.
Essa troca (troca das linhas 3 e 4) corresponde a uma segunda troca na permutação global; quando trocamos aqui, devemos também trocar os elementos já lançados em L nas colunas anteriores para as linhas 3 e 4 (isto é parte do algoritmo do LU com pivoteamento parcial).
Após a troca, o pivô na posição (3,3) é -\tfrac{455}{57}. Calculamos o multiplicador para zerar a entrada abaixo:m_{43}=\frac{\tfrac{109}{19}}{-\tfrac{455}{57}}=-\frac{327}{455}\approx -0{,}7186813187.
Eliminando, a última linha (linha 4 após a troca) fica com zero na coluna 3 e a entrada (4,4) igual au_{44}=\frac{176187}{25935}=\frac{58729}{8645}\approx 6{,}791056231.
Assim obtemos a matriz triangular superior U final (mostro em forma triangular):
Matriz de permutação P e matriz L resultantes (resultado do processo com as trocas apropriadas e os multiplicadores armazenados).
A permutação final (linha 1 passou a ser a linha 3 original, e houve troca entre as linhas 3 e 4 na etapa 3) transforma a ordem original de linhas (1,2,3,4) em (3,2,4,1). A matriz de permutação P correspondente é