e pede que eu faça a eliminação por Gauss (obter a forma triangular superior) e, a partir desse processo, determine a decomposição \,A=LU, (ou seja, encontre as matrizes \,L e \,U).\n
Informações relevantes dadas:
\text{Matriz }A\text{ (4×4) exibida acima.}
As tarefas são: (1) aplicar eliminação de Gauss sem trocar linhas (se possível) para obter a matriz triangular superior U; (2) construir L contendo os multiplicadores usados (com 1 na diagonal), de modo que A=LU.]
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (passo-a-passo didático):\n
Na eliminação de Gauss escolho pivôs na coluna principal e anulo os elementos abaixo do pivô usando operações do tipo \text{R}_i\leftarrow \text{R}_i - m_{i,k}\,\text{R}_k, onde o multiplicador é \,m_{i,k}=\dfrac{a_{i,k}}{a_{k,k}}\,.\n
Os multiplicadores \,m_{i,k} usados para zerar abaixo do pivô formam os elementos fora da diagonal de L (na forma de Doolittle, com diagonal de 1).\n
Vou aplicar isso à matriz A usando pivôs a_{11},a_{22},a_{33} sucessivamente (sem permutar linhas porque os pivôs são não nulos).
Passo 3
Primeiro pivô: a_{11}=1 (linha 1). Calculo os multiplicadores para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
Verificação conceitual: multiplicando L por U deve reconstituir A. (Aqui construí L exatamente com os multiplicadores usados na eliminação, logo A=LU.)]