• Determine as matrizes com transformação yor Gauss e LU
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 & 1 \\\\ 3 & -1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 2 & 3 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 3 & -1 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 2 & 3 & -1 \end{array}\right]
e pede que eu faça a eliminação por Gauss (obter a forma triangular superior) e, a partir desse processo, determine a decomposição \,A=LU, (ou seja, encontre as matrizes \,L e \,U).\n
Informações relevantes dadas:
\text{Matriz }A\text{ (4×4) exibida acima.}
As tarefas são: (1) aplicar eliminação de Gauss sem trocar linhas (se possível) para obter a matriz triangular superior U; (2) construir L contendo os multiplicadores usados (com 1 na diagonal), de modo que A=LU.]

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (passo-a-passo didático):\n
  • Na eliminação de Gauss escolho pivôs na coluna principal e anulo os elementos abaixo do pivô usando operações do tipo \text{R}_i\leftarrow \text{R}_i - m_{i,k}\,\text{R}_k, onde o multiplicador é \,m_{i,k}=\dfrac{a_{i,k}}{a_{k,k}}\,.\n
  • Os multiplicadores \,m_{i,k} usados para zerar abaixo do pivô formam os elementos fora da diagonal de L (na forma de Doolittle, com diagonal de 1).\n
    Vou aplicar isso à matriz A usando pivôs a_{11},a_{22},a_{33} sucessivamente (sem permutar linhas porque os pivôs são não nulos).

Passo 3

Primeiro pivô: a_{11}=1 (linha 1). Calculo os multiplicadores para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{3}{1}=3,\qquad m_{41}=\frac{a_{41}}{a_{11}}=\frac{-1}{1}=-1.
Faço as operações:
\begin{aligned} \text{R}_2 &\leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1 &\Rightarrow&\quad [2,\,1,\,-1,\,1] - 2[1,\,1,\,0,\,3] = [0,\,-1,\,-1,\,-5],\\[4pt] \text{R}_3 &\leftarrow \text{R}_3 - 3\text{R}_1 &\Rightarrow&\quad [3,\,-1,\,-1,\,2] - 3[1,\,1,\,0,\,3] = [0,\,-4,\,-1,\,-7],\\[4pt] \text{R}_4 &\leftarrow \text{R}_4 - (-1)\text{R}_1 &\Rightarrow&\quad [-1,\,2,\,3,\,-1] + [1,\,1,\,0,\,3] = [0,\,3,\,3,\,2]. \end{aligned}
A matriz após esse primeiro estágio é
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & -4 & -1 & -7\\[4pt] 0 & 3 & 3 & 2 \end{array}\right].]

Passo 4

Segundo pivô: a_{22}=-1 (nova linha 2). Calculo os multiplicadores para zerar abaixo na coluna 2:
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-4}{-1}=4,\qquad m_{42}=\frac{a_{42}}{a_{22}}=\frac{3}{-1}=-3.
Faço as operações:
\begin{aligned} \text{R}_3 &\leftarrow \text{R}_3 - 4\text{R}_2 &\Rightarrow&\quad [0,\,-4,\,-1,\,-7] - 4[0,\,-1,\,-1,\,-5] = [0,\,0,\,3,\,13],\\[4pt] \text{R}_4 &\leftarrow \text{R}_4 - (-3)\text{R}_2 &\Rightarrow&\quad [0,\,3,\,3,\,2] + 3[0,\,-1,\,-1,\,-5] = [0,\,0,\,0,\,-13]. \end{aligned}
A matriz após esse segundo estágio é
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 13\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -13 \end{array}\right].]

Passo 5

Terceiro pivô: a_{33}=3 (linha 3). Calculo o multiplicador para zerar abaixo na coluna 3:
m_{43}=\frac{a_{43}}{a_{33}}=\frac{0}{3}=0.
Como m_{43}=0, a \text{R}_4 não muda. A matriz já está triangular superior. Denoto esta matriz triangular por U:
U=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 13\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -13 \end{array}\right].]

Passo 6

Construção da matriz L (forma de Doolittle, diagonal igual a 1) usando todos os multiplicadores obtidos:
  • Da coluna 1: m_{21}=2,\;m_{31}=3,\;m_{41}=-1.
  • Da coluna 2: m_{32}=4,\;m_{42}=-3.
  • Da coluna 3: m_{43}=0.
Logo
L=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 4 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right].
Verificação conceitual: multiplicando L por U deve reconstituir A. (Aqui construí L exatamente com os multiplicadores usados na eliminação, logo A=LU.)]

Resposta

L=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 4 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right]
U=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 13\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -13 \end{array}\right]

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