Considere o sistema linear abaixo:
rr x1+2 x2-3 x3+4 x4 & =7 x1+2 x2+4 x3+7 x4 & =-1 2 x1+7 x2+1 x3+3 x4 & =5 8 x1+3 x2+2 x3+x4 & =2
Encontre a solução exata utilizando o Método da Eliminação Gaussiana com Pivoteamento Simples. Justifique TODAS as escolhas de pivô com base no algoritmo.
Obs.: Pode fazer a questão por outro método ensinado no curso, mas neste caso ela vale 4 pontos.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para resolver esse sistema de 4 equações e 4 incógnitas
x1+2x2-3x3+4x4=7 x1+2x2+4x3+7x4=-1 2x1+7x2+x3+3x4=5 8x1+3x2+2x3+x4=2
usando Eliminação de Gauss com Pivoteamento Simples.
Conteúdo: método de Gauss, troca de linhas para usar sempre o maior pivô em valor absoluto e depois eliminação “normal” para reduzir a matriz a triangular. Vamos precisar montar a matriz aumentada, escolher pivôs coluna a coluna, justificar cada swap, eliminar abaixo dos pivôs e, por fim, fazer retro-substituição.

Passo 2

Monta a matriz aumentada e escolhe o pivô da primeira coluna (i=1).
Matriz inicial:
1 & 2 & -3 & 4 &mid& 7 1 & 2 & 4 & 7 &mid& -1 2 & 7 & 1 & 3 &mid& 5 8 & 3 & 2 & 1 &mid& 2
Pivoteamento simples: na coluna 1 os valores em módulo são {1,1,2,8}, o maior é 8 (linha 4). Então fazemos o swap linha 1↔linha 4 para usar aquele 8 como pivô.
Depois do swap:
8 & 3 & 2 & 1 &mid& 2 1 & 2 & 4 & 7 &mid& -1 2 & 7 & 1 & 3 &mid& 5 1 & 2 & -3 & 4 &mid& 7

Passo 3

Eliminação na coluna 1 (usar pivô 8 em R1 para zerar R2, R3, R4):
  • R2 ← R2 – (1/8)R1
  • R3 ← R3 – (2/8)R1 = R3 – (1/4)R1
  • R4 ← R4 – (1/8)R1
Após calcular cada operação (em frações):
8 & 3 & 2 & 1 &mid& 2 0 & tfrac138 & tfrac154 & tfrac558 &mid& -tfrac54 0 & tfrac254 & tfrac12 & tfrac114 &mid& tfrac92 0 & tfrac138 & -tfrac134& tfrac318 &mid& tfrac274

Passo 4

Agora coluna 2. Entre R2,R3,R4 os pivôs candidatos são |13/8|≈1,625, |25/4|=6,25, |13/8|≈1,625. O maior é 25/4 em R3. Então swap R2↔R3. Fica:
8 & 3 & 2 & 1 &mid& 2 0 & tfrac254 & tfrac12 & tfrac114 &mid& tfrac92 0 & tfrac138 & tfrac154 & tfrac558 &mid& -tfrac54 0 & tfrac138 & -tfrac134& tfrac318 &mid& tfrac274
Elimina abaixo de 25/4 em coluna 2 (fator = (13/8)/(25/4)=13/50):
  • R3 ← R3 – (13/50)R2
  • R4 ← R4 – (13/50)R2
Resulta na matriz:
8 & 3 & 2 & 1 &mid& 2 0 & tfrac254 & tfrac12 & tfrac114 &mid& tfrac92 0 & 0 & tfrac18150 & tfrac15425 &mid& -tfrac12150 0 & 0 & -tfrac16950& tfrac7925 &mid& tfrac27950

Passo 5

Coluna 3: só restam R3 e R4. Em módulo 181/50≈3,62 e 169/50≈3,38, o maior é 181/50 (R3). Sem swap, usamos R3 como pivô.
Eliminamos R4: fator = (–169/50)/(181/50)=–169/181,
R4 R4 - l(-tfrac169181r),R3 ;Longrightarrow; 8 & 3 & 2 & 1 &mid& 2 0 & tfrac254 & tfrac12 & tfrac114 &mid& tfrac92 0 & 0 & tfrac18150 & tfrac15425 &mid& -tfrac12150 0 & 0 & 0 & tfrac1613181 &mid& tfrac601181

Passo 6

Agora já está triangular superior. Fazemos retro-substituição:
  1. Da última linha:
1613181,x4 = 601181 Longrightarrow x4 = 6011613
  1. Linha 3:
18150,x3 + 15425,x4 ;=; -12150 ;Longrightarrow; x3 = -380281291953
  1. Linha 2:
254,x2 + 12,x3 + 114,x4 = 92 ;Longrightarrow; x2 = 192765291953
  1. Linha 1:
8x1 +3x2 +2x3 +x4 = 2 ;Longrightarrow; x1 = 82174291953

Resposta

boxed x1 = 82174291953, x2 = 192765291953, x3 = -380281291953, x4 = 6011613

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