Considere o sistema linear abaixo:
Encontre a solução exata utilizando o Método da Eliminação Gaussiana com Pivoteamento Simples. Justifique TODAS as escolhas de pivô com base no algoritmo.
Obs.: Pode fazer a questão por outro método ensinado no curso, mas neste caso ela vale 4 pontos.
Obs.: Pode fazer a questão por outro método ensinado no curso, mas neste caso ela vale 4 pontos.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para resolver esse sistema de 4 equações e 4 incógnitas
usando Eliminação de Gauss com Pivoteamento Simples.
Conteúdo: método de Gauss, troca de linhas para usar sempre o maior pivô em valor absoluto e depois eliminação “normal” para reduzir a matriz a triangular. Vamos precisar montar a matriz aumentada, escolher pivôs coluna a coluna, justificar cada swap, eliminar abaixo dos pivôs e, por fim, fazer retro-substituição.
Conteúdo: método de Gauss, troca de linhas para usar sempre o maior pivô em valor absoluto e depois eliminação “normal” para reduzir a matriz a triangular. Vamos precisar montar a matriz aumentada, escolher pivôs coluna a coluna, justificar cada swap, eliminar abaixo dos pivôs e, por fim, fazer retro-substituição.
Passo 2
Monta a matriz aumentada e escolhe o pivô da primeira coluna (i=1).
Matriz inicial:
Matriz inicial:
Pivoteamento simples: na coluna 1 os valores em módulo são {1,1,2,8}, o maior é 8 (linha 4). Então fazemos o swap linha 1↔linha 4 para usar aquele 8 como pivô.
Depois do swap:
Depois do swap:
Passo 3
Eliminação na coluna 1 (usar pivô 8 em R1 para zerar R2, R3, R4):
- R2 ← R2 – (1/8)R1
- R3 ← R3 – (2/8)R1 = R3 – (1/4)R1
- R4 ← R4 – (1/8)R1
Após calcular cada operação (em frações):
Passo 4
Agora coluna 2. Entre R2,R3,R4 os pivôs candidatos são |13/8|≈1,625, |25/4|=6,25, |13/8|≈1,625. O maior é 25/4 em R3. Então swap R2↔R3. Fica:
Elimina abaixo de 25/4 em coluna 2 (fator = (13/8)/(25/4)=13/50):
- R3 ← R3 – (13/50)R2
- R4 ← R4 – (13/50)R2
Resulta na matriz:
Passo 5
Coluna 3: só restam R3 e R4. Em módulo 181/50≈3,62 e 169/50≈3,38, o maior é 181/50 (R3). Sem swap, usamos R3 como pivô.
Eliminamos R4: fator = (–169/50)/(181/50)=–169/181,
Eliminamos R4: fator = (–169/50)/(181/50)=–169/181,
Passo 6
Agora já está triangular superior. Fazemos retro-substituição:
- Da última linha:
- Linha 3:
- Linha 2:
- Linha 1: