Considere a função abaixo, que tem uma raiz em
:
Encontre a raiz de
com uma precisão de
por meio da Iteração de Ponto Fixo. Considere
.
Passo 1
Resumo: queremos achar a raiz de
no intervalo
usando Iteração de Ponto Fixo, parando quando
.
Conteúdo: método de ponto fixo, contracção e critério de convergência.
O que precisamos:
Conteúdo: método de ponto fixo, contracção e critério de convergência.
O que precisamos:
- Reescrever
como . - Checar se
é contração ( ). - Iterar até
.
Passo 2
Transformação para ponto fixo
Começamos em
Começamos em
Logo definimos
pois toda raiz de
satisfaz
.
Passo 3
Verificando convergência
Calculamos a derivada
Calculamos a derivada
No intervalo
, o maior valor de
ocorre em
:
Como
em
,
é contração e o método converge.
Passo 4
Critério de parada
Vamos gerar a sequência
Vamos gerar a sequência
com chute inicial
, até que
.
Passo 5
Iterações (algumas para ilustrar)
Aqui em
já temos
.
Resposta
A raiz aproximada é