Considere a função abaixo, que tem uma raiz em [1,3] :
f(x)=x^3-2 x-3e^x
Encontre a raiz de f(x) com uma precisão de 10^-5 por meio da Iteração de Ponto Fixo. Considere epsilonn=|pn-pn-1|.

Passo 1

Resumo: queremos achar a raiz de
f(x)=x^3-2x-3e^x
no intervalo usando Iteração de Ponto Fixo, parando quando
.
Conteúdo: método de ponto fixo, contracção e critério de convergência.
O que precisamos:
  • Reescrever como .
  • Checar se é contração ( ).
  • Iterar até .

Passo 2

Transformação para ponto fixo
Começamos em
f(x)=0 ;Longrightarrow; x^3-2x-3=0 ;Longrightarrow; x^3=2x+3 ;Longrightarrow; x = raiz[,3,]2x+3
Logo definimos
g(x) = (2x+3)^1/3,
pois toda raiz de satisfaz .

Passo 3

Verificando convergência
Calculamos a derivada
g'(x) =ddx(2x+3)^1/3 =13(2x+3)^-2/3cdot2 =23,(2x+3)^2/3
No intervalo |g'(1)|=23cdot5^2/3approx0,227<1 , o maior valor de ocorre em :
Como em , é contração e o método converge.

Passo 4

Critério de parada
Vamos gerar a sequência
pn+1=g(pn),
com chute inicial , até que
.

Passo 5

Iterações (algumas para ilustrar)
p0&=1,5, p1&=(2cdot1,5+3)^1/3=(6)^1/3approx1,8171206, p2&=(2cdot1,8171206+3)^1/3approx1,8796240, epsilon2approx0,0625, p3&approx1,8896932, epsilon3approx0,0101, p4&approx1,8924088, epsilon4approx0,0027, p5&approx1,8933171, epsilon5approx0,0009, p6&approx1,8936070, epsilon6approx0,0003, p7&approx1,8936848, epsilon7approx0,00008, p8&approx1,8937024, epsilon8approx0,00002, p9&approx1,8937075, epsilon9approx0,000005<10^-5
Aqui em já temos .

Resposta

A raiz aproximada é
papprox1,89371

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