Q7: Seja \gamma=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base do \mathbb{R}^{3}.
Defina \beta=\left\{\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}, \vec{v}_{1}-\vec{v}_{3}, 2 \vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}\right\}.
Determine a segunda coordenada do vetor \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3} com relação à base \beta.
(A) 3
(B) -2
(C) 1
(D) -1
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma base \gamma=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3} e define outra coleção de vetores
\beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}=\{\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2},\;\vec{v}_{1}-\vec{v}_{3},\;2\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}\}.
Pede-se a segunda coordenada do vetor \vec{w}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3} em relação à base \beta.
Informações relevantes que temos:
  • \vec{b}_{1}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}.
  • \vec{b}_{2}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{3}.
  • \vec{b}_{3}=2\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}.
  • \vec{w}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}.
  • A base \gamma garante que \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é linearmente independente, logo as coordenadas relativas a \beta serão únicas (podemos comparar coeficientes na combinação linear em função de \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3).

Passo 2

O que significa "segunda coordenada de \vec{w} em relação à base \beta"?
Significa encontrar escalares x_{1},x_{2},x_{3} tais que
\vec{w}=x_{1}\vec{b}_{1}+x_{2}\vec{b}_{2}+x_{3}\vec{b}_{3},
e então a segunda coordenada pedida é x_{2}.
Explicação do porquê podemos fazer isso: como \gamma é base, \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são independentes. Ao escrever ambos os lados da igualdade acima como combinações lineares de \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 e comparar coeficientes, obtemos um sistema linear para x_{1},x_{2},x_{3}. Esse sistema tem solução única.

Passo 3

Escrevendo a igualdade pedida substituindo \vec{b}_{i} pelas suas expressões:
\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}=x_{1}(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2})+x_{2}(\vec{v}_{1}-\vec{v}_{3})+x_{3}(2\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}).

Passo 4

Agora expandimos o lado direito e agrupamos termos em \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}:
\text{Lado direito}= (x_{1}+x_{2})\vec{v}_{1} + (x_{1}+2x_{3})\vec{v}_{2} + (-x_{2}+x_{3})\vec{v}_{3}.
Comparando com o lado esquerdo \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}, igualamos os coeficientes de cada \vec{v}_{i}, obtendo o sistema
\begin{cases} x_{1}+x_{2}=1,\\[4pt] x_{1}+2x_{3}=1,\\[4pt] -x_{2}+x_{3}=1. \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo para encontrar x_{2} (a segunda coordenada):
Da primeira equação temos
x_{1}=1-x_{2}.
Substituindo na segunda equação:
(1-x_{2})+2x_{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad -x_{2}+2x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{3}=x_{2}.
Logo
x_{3}=\frac{x_{2}}{2}.

Passo 6

Agora usamos a terceira equação -x_{2}+x_{3}=1. Substituindo x_{3}=\dfrac{x_{2}}{2} obtemos
-x_{2}+\frac{x_{2}}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{x_{2}}{2}=1.
Resolvendo:
x_{2}=-2.

Passo 7

Interpretando: x_{2} é exatamente a segunda coordenada de \vec{w} em relação à base \beta. Assim, a segunda coordenada vale -2.

Resposta

(B) -2

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