Q7: Seja \gamma=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base do \mathbb{R}^{3}.
Defina \beta=\left\{\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}, \vec{v}_{1}-\vec{v}_{3}, 2 \vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}\right\}.
Determine a segunda coordenada do vetor \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3} com relação à base \beta.
(A) 3
(B) -2
(C) 1
(D) -1
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma base \gamma=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} de \mathbb{R}^{3} e define outra coleção de vetores
Pede-se a segunda coordenada do vetor \vec{w}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3} em relação à base \beta.
Informações relevantes que temos:
\vec{b}_{1}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}.
\vec{b}_{2}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{3}.
\vec{b}_{3}=2\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}.
\vec{w}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}.
A base \gamma garante que \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é linearmente independente, logo as coordenadas relativas a \beta serão únicas (podemos comparar coeficientes na combinação linear em função de \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3).
Passo 2
O que significa "segunda coordenada de \vec{w} em relação à base \beta"?
Significa encontrar escalares x_{1},x_{2},x_{3} tais que
Explicação do porquê podemos fazer isso: como \gamma é base, \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são independentes. Ao escrever ambos os lados da igualdade acima como combinações lineares de \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 e comparar coeficientes, obtemos um sistema linear para x_{1},x_{2},x_{3}. Esse sistema tem solução única.
Passo 3
Escrevendo a igualdade pedida substituindo \vec{b}_{i} pelas suas expressões: