Considere o sistema linear S:c-x+2 y+z=0 2 x-y+z=0. Determine uma base a dimensão do espaço solução de S.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
-x + 2y + z = 0, 2x - y + z = 0,
que é um sistema de duas equações em três incógnitas (x,y,z). O objetivo é encontrar todos os vetores (x,y,z)inR^3 que satisfazem essas equações, ou seja, descrever o espaço solução, determinar sua dimensão e exibir uma base.

Passo 2

Da primeira equação
-x + 2y + z = 0
isolamos x:
x = 2y + z

Passo 3

Substituímos x = 2y+z na segunda equação
2x - y + z = 0
ficando
2(2y+z) - y + z = 0 Longrightarrow 4y + 2z - y + z = 0 Longrightarrow 3y + 3z = 0 Longrightarrow y + z = 0
Logo,
y = -,z

Passo 4

Substituindo y = -z em x = 2y+z obtemos
x = 2(-z) + z = -,z
Assim todo vetor solução tem a forma
(x,y,z) = (-z,,-z,,z) = t(-1,-1,1),
onde t=z é parâmetro livre em R.

Passo 5

Vimos que o espaço solução é
,t(-1,-1,1)mid tinR,,
que é um subespaço unidimensional de R^3.

Resposta

Uma base do espaço solução é (-1,-1,1) e sua dimensão é 1.

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