(1,0)- Determine todos os valores de para os quais: O sistema não tem solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e um parâmetro b. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de b para os quais esse sistema não tem solução. Para isso, vamos usar conhecimentos de sistemas lineares e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Note que a terceira equação não contém a variável z . Isso pode simplificar um pouco nosso trabalho.
Passo 3
Vamos tentar resolver o sistema usando o método da eliminação. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar x e y :
- x - 2y + b^2 = b - 4 Rightarrow x + 2y = b^2 - (b - 4) = b^2 - b + 4
Agora, temos:
x + 2y = b^2 - b + 4 (Equação 4) çã
Passo 4
Vamos comparar a Equação 4 com a primeira equação do sistema original:
x + 2y + z = 3 e x + 2y = b^2 - b + 4
Subtraindo a Equação 4 da primeira equação:
(x + 2y + z) - (x + 2y) = 3 - (b^2 - b + 4) Rightarrow z = 3 - b^2 + b - 4 = -b^2 + b -1
Então, encontramos z = -b^2 + b -1 .
Passo 5
Agora, vamos usar a terceira equação do sistema:
- x + b + b^2 = 2b - 2
Isolando x :
- x = 2b - 2 - b - b^2 Rightarrow -x = b - 2 - b^2 Rightarrow x = b^2 - b + 2
Então, x = b^2 - b + 2 .
Passo 6
Temos agora valores para x e z em termos de b . Vamos substituir x na Equação 4 para encontrar y :
x + 2y = b^2 - b + 4 Rightarrow (b^2 - b + 2) + 2y = b^2 - b + 4
Simplificando:
2y = b^2 - b + 4 - b^2 + b - 2 = 2
Então, y = 1 .
Passo 7
Agora, temos expressões para todas as variáveis:
x = b^2 - b + 2, y = 1, z = -b^2 + b -1
Isso significa que, para qualquer valor de b , conseguimos encontrar valores para x , y e z que satisfazem todas as equações do sistema.
Passo 8
No entanto, para o sistema não ter solução, precisamos que haja uma inconsistência, ou seja, que as equações se tornem contraditórias para algum valor de b . Observando as soluções encontradas, vemos que elas são válidas para todos os valores de b .
Passo 9
Portanto, não há nenhum valor de b que torne o sistema insatisfatível. Sempre conseguimos encontrar x , y e z que resolvem o sistema, independente do valor de b .
Resposta
Não existem valores de b para os quais o sistema não tenha solução. O sistema sempre possui solução para qualquer valor de b .