Considere o sistema linear
x+2 y+z=3 -x-2 y+b^2=b-4 -x+b+b^2=2 b-2
(1,0)- Determine todos os valores de b para os quais: O sistema não tem solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e um parâmetro b. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de b para os quais esse sistema não tem solução. Para isso, vamos usar conhecimentos de sistemas lineares e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
x + 2y + z = 3 - x - 2y + b^2 = b - 4 - x + b + b^2 = 2b - 2
Note que a terceira equação não contém a variável z . Isso pode simplificar um pouco nosso trabalho.

Passo 3

Vamos tentar resolver o sistema usando o método da eliminação. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar x e y :
- x - 2y + b^2 = b - 4 Rightarrow x + 2y = b^2 - (b - 4) = b^2 - b + 4
Agora, temos:
x + 2y = b^2 - b + 4 (Equação 4) çã

Passo 4

Vamos comparar a Equação 4 com a primeira equação do sistema original:
x + 2y + z = 3 e x + 2y = b^2 - b + 4
Subtraindo a Equação 4 da primeira equação:
(x + 2y + z) - (x + 2y) = 3 - (b^2 - b + 4) Rightarrow z = 3 - b^2 + b - 4 = -b^2 + b -1
Então, encontramos z = -b^2 + b -1 .

Passo 5

Agora, vamos usar a terceira equação do sistema:
- x + b + b^2 = 2b - 2
Isolando x :
- x = 2b - 2 - b - b^2 Rightarrow -x = b - 2 - b^2 Rightarrow x = b^2 - b + 2
Então, x = b^2 - b + 2 .

Passo 6

Temos agora valores para x e z em termos de b . Vamos substituir x na Equação 4 para encontrar y :
x + 2y = b^2 - b + 4 Rightarrow (b^2 - b + 2) + 2y = b^2 - b + 4
Simplificando:
2y = b^2 - b + 4 - b^2 + b - 2 = 2
Então, y = 1 .

Passo 7

Agora, temos expressões para todas as variáveis:
x = b^2 - b + 2, y = 1, z = -b^2 + b -1
Isso significa que, para qualquer valor de b , conseguimos encontrar valores para x , y e z que satisfazem todas as equações do sistema.

Passo 8

No entanto, para o sistema não ter solução, precisamos que haja uma inconsistência, ou seja, que as equações se tornem contraditórias para algum valor de b . Observando as soluções encontradas, vemos que elas são válidas para todos os valores de b .

Passo 9

Portanto, não há nenhum valor de b que torne o sistema insatisfatível. Sempre conseguimos encontrar x , y e z que resolvem o sistema, independente do valor de b .

Resposta

Não existem valores de b para os quais o sistema não tenha solução. O sistema sempre possui solução para qualquer valor de b .

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