(1,0)- Determine todos os valores de para os quais: O sistema tem infinitas soluções;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado nos dá três equações com as incógnitas , e , e quer saber para quais valores de o sistema tem infinitas soluções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especialmente o de sistemas lineares e suas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
Nosso objetivo é encontrar os valores de b que fazem com que esse sistema tenha infinitas soluções.
Passo 3
Para descobrir quando um sistema tem infinitas soluções, precisamos que as equações sejam dependentes, ou seja, uma equação pode ser obtida a partir das outras. Isso geralmente acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero.
Vamos montar a matriz dos coeficientes:
A = 1 & 2 & 1 -1 & -2 & 0 -1 & 0 & 0
E os termos independentes:
b = 3 b - 4 - b^2 2b - 2 - b - b^2
Passo 4
Calculamos o determinante da matriz A. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo dos termos independentes.
Como o determinante é -2, que não é zero, inicialmente parece que o sistema tem uma única solução. Porém, precisamos verificar as condições específicas para infinitas soluções.
Passo 5
Para o sistema ter infinitas soluções, além do determinante ser zero, as equações devem ser dependentes. Vamos reescrever as Equações 2 e 3 para facilitar a comparação:
Equação 2:
- x - 2y + b^2 = b - 4 Rightarrow x + 2y = b^2 - b + 4
Equação 3:
- x + b + b^2 = 2b - 2 Rightarrow x = b + b^2 - 2b + 2 = b^2 - b + 2
Agora, substituímos x da Equação 3 na Equação 1:
(b^2 - b + 2) + 2y + z = 3 Rightarrow 2y + z = 3 - b^2 + b - 2 = -b^2 + b + 1
Passo 6
Agora, temos um sistema reduzido:
2y + z = -b^2 + b + 1 (Equação 4) x = b^2 - b + 2 (Equação 3) çãçã
Para que haja infinitas soluções, precisamos que a Equação 4 seja compatível com as outras equações. Porém, como temos apenas duas equações com três incógnitas (y, z e x já está definido), na verdade, o sistema terá infinitas soluções para qualquer valor de b que não contradiga as equações.
Passo 7
Analisando as equações, percebemos que z pode ser qualquer valor, e y será determinado por z. Portanto, o sistema terá sempre infinitas soluções, independentemente do valor de b.
Resposta
Todos os valores de b permitem que o sistema tenha infinitas soluções.