Considere o sistema linear
x+2 y+z=3 -x-2 y+b^2=b-4 -x+b+b^2=2 b-2
(1,0)- Determine todos os valores de b para os quais: O sistema tem infinitas soluções;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado nos dá três equações com as incógnitas x, y e z, e quer saber para quais valores de b o sistema tem infinitas soluções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especialmente o de sistemas lineares e suas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
x + 2y + z = 3 (Equação 1) - x - 2y + b^2 = b - 4 (Equação 2) - x + b + b^2 = 2b - 2 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo é encontrar os valores de b que fazem com que esse sistema tenha infinitas soluções.

Passo 3

Para descobrir quando um sistema tem infinitas soluções, precisamos que as equações sejam dependentes, ou seja, uma equação pode ser obtida a partir das outras. Isso geralmente acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero.
Vamos montar a matriz dos coeficientes:
A = 1 & 2 & 1 -1 & -2 & 0 -1 & 0 & 0
E os termos independentes:
b = 3 b - 4 - b^2 2b - 2 - b - b^2

Passo 4

Calculamos o determinante da matriz A. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo dos termos independentes.
det(A) = 1 cdot ( (-2)(0) - (0)(0) ) - 2 cdot ( (-1)(0) - (-1)(0) ) + 1 cdot ( (-1)(0) - (-2)(-1) ) = 0
Simplificando:
det(A) = 0 - 0 + 1 cdot (0 - 2) = -2
Como o determinante é -2, que não é zero, inicialmente parece que o sistema tem uma única solução. Porém, precisamos verificar as condições específicas para infinitas soluções.

Passo 5

Para o sistema ter infinitas soluções, além do determinante ser zero, as equações devem ser dependentes. Vamos reescrever as Equações 2 e 3 para facilitar a comparação:
Equação 2:
- x - 2y + b^2 = b - 4 Rightarrow x + 2y = b^2 - b + 4
Equação 3:
- x + b + b^2 = 2b - 2 Rightarrow x = b + b^2 - 2b + 2 = b^2 - b + 2
Agora, substituímos x da Equação 3 na Equação 1:
(b^2 - b + 2) + 2y + z = 3 Rightarrow 2y + z = 3 - b^2 + b - 2 = -b^2 + b + 1

Passo 6

Agora, temos um sistema reduzido:
2y + z = -b^2 + b + 1 (Equação 4) x = b^2 - b + 2 (Equação 3) çãçã
Para que haja infinitas soluções, precisamos que a Equação 4 seja compatível com as outras equações. Porém, como temos apenas duas equações com três incógnitas ( y, z e x já está definido), na verdade, o sistema terá infinitas soluções para qualquer valor de b que não contradiga as equações.

Passo 7

Analisando as equações, percebemos que z pode ser qualquer valor, e y será determinado por z. Portanto, o sistema terá sempre infinitas soluções, independentemente do valor de b.

Resposta

Todos os valores de b permitem que o sistema tenha infinitas soluções.

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