Use o método de Gauss-Jordan para achar a inversa da matriz dada (se existir).
[cccc0 & -1 & 1 & 0 2 & 1 & 0 & 2 1 & -1 & 3 & 0 0 & 1 & 1 & -1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A= 0 & -1 & 1 & 0 2 & 1 & 0 & 2 1 & -1 & 3 & 0 0 & 1 & 1 & -1
Usaremos o método de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada l[Amid I4r] e aplicamos operações elementares até obter l[I4mid A^-1r].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial e, como o pivô a11=0, trocamos L1rightarrow L3:
[cccc|cccc 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Em seguida eliminamos a coluna 1 abaixo do pivô usando L2 L2-2L1:
[cccc|cccc 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & -6 & 2 & 0 & 1 & -2 & 0 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Normalizamos o pivô da linha 2: L213L2, e depois eliminamos a coluna 2 nas outras linhas com
L1 L1+L2, L3 L3+L2, L4 L4-L2
O resultado é
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & tfrac23 & 0 & tfrac13 & tfrac13 & 0 0 & 1 & -2 & tfrac23 & 0 & tfrac13 & -tfrac23 & 0 0 & 0 & -1 & tfrac23 & 1 & tfrac13 & -tfrac23 & 0 0 & 0 & 3 & -tfrac53 & 0 & -tfrac13 & tfrac23 & 1 ]

Passo 4

Agora pivotamos na coluna 3: primeiro L3 -1cdot L3, depois eliminamos coluna 3 em L1,L2,L4 via
L1 L1-L3, L2 L2+2L3, L4 L4-3L3
Ficamos com
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & tfrac43 & 1 & tfrac23 & -tfrac13 & 0 0 & 1 & 0 & -tfrac23 & -2 & -tfrac13 & tfrac23 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac23 & -1 & -tfrac13 & tfrac23 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac13 & 3 & tfrac23 & -tfrac43 & 1 ]

Passo 5

Por fim pivotamos na coluna 4: L4 3,L4 e eliminamos coluna 4 em L1,L2,L3 via
L1 L1-tfrac43L4, L2 L2+tfrac23L4, L3 L3+tfrac23L4
Obtemos a forma l[I4mid A^-1r]:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & -11 & -2 & 5 & -4 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 1 & -2& 2 0 & 0 & 1 & 0 & 5 & 1 & -2& 2 0 & 0 & 0 & 1 & 9 & 2 & -4& 3 ]

Resposta

A^-1 = -11 & -2 & 5 & -4 4 & 1 & -2 & 2 5 & 1 & -2 & 2 9 & 2 & -4 & 3

Exercícios relacionados