Use o método de Gauss-Jordan para achar a inversa da matriz dada (se existir).
[llla & 0 & 0 1 & a & 0 0 & 1 & a]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = a & 0 & 0 1 & a & 0 0 & 1 & a
usando o método de Gauss–Jordan. Estamos trabalhando com inversão de matrizes quadradas e eliminação de Gauss–Jordan, que consiste em montar [Amid I] e aplicar operações elementares até obter [Imid A^-1]. Note que o pivô em cada etapa não pode ser zero, ou seja, precisamos de aneq0.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial [Amid I]:
[ccc|ccc a & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & a & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & a & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Normalizamos o pivô da linha 1 dividindo toda a linha 1 por a:
L1 1aL1 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac1a & 0 & 0 1 & a & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & a & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Eliminamos a entrada abaixo do pivô (linha 2, coluna 1) usando L2 L2 - L1:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac1a & 0 & 0 0 & a & 0 & -tfrac1a & 1 & 0 0 & 1 & a & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Normalizamos o pivô da linha 2 dividindo toda a linha 2 por a:
L2 1aL2 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac1a & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -tfrac1a^2 & tfrac1a & 0 0 & 1 & a & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Eliminamos a entrada abaixo do pivô (linha 3, coluna 2) usando L3 L3 - L2:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac1a & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -tfrac1a^2 & tfrac1a & 0 0 & 0 & a & tfrac1a^2 & -tfrac1a & 1 ]

Passo 7

Normalizamos o pivô da linha 3 dividindo toda a linha 3 por a:
L3 1aL3 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac1a & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -tfrac1a^2 & tfrac1a & 0 0 & 0 & 1 & tfrac1a^3 & -tfrac1a^2 & tfrac1a ]
As colunas acima dos pivôs já estão zeradas, então chegamos a [Imid A^-1].

Resposta

A inversa existe se e somente se aneq0 e é
A^-1 = tfrac1a & 0 & 0[6pt] -tfrac1a^2 & tfrac1a & 0[6pt] tfrac1a^3 & -tfrac1a^2 & tfrac1a ]

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