Considere o sistema linear: c3 x+5 y+5 z=a 2 x+a y+z=1 x+y+a z=1.
(a) Determine os valores possíveis de a para que o sistema tenha solução única.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro :
O conteúdo é teoria de sistemas lineares com parâmetro e vamos usar o critério de existência de solução única: a matriz de coeficientes deve ter determinante não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 3 & 5 & 5 2 & a & 1 1 & 1 & a
e calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =3det!a & 11 & a -5det!2 & 11 & a +5det!2 & a1 & 1

Passo 3

Calculamos cada menor:
det!a & 11 & a = a^2 - 1, det!2 & 11 & a = 2a - 1, det!2 & a1 & 1 = 2 - a
Substituindo:
det(A) =3(a^2-1) -5(2a-1) +5(2-a)

Passo 4

Expandindo e fatorando:
det(A) =3a^2 -3 -10a +5 +10 -5a =3a^2 -15a +12 =3l(a^2-5a+4r) =3(a-1)(a-4)
Para haver solução única, precisamos de det(A)neq0, ou seja, a-1neq0 e a-4neq0.

Resposta

O sistema tem solução única para todo valor de a tal que
a neq 1 e a neq 4

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