Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro dê uma justificativa curta, e se for falso dê um exemplo.
(b) Se a forma escalonada reduzida da matriz tem uma linha de zeros, então o sistema tem infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre o sistema homogêneo e afirma que, se a forma escalonada reduzida de tem uma linha de zeros, então o sistema teria infinitas soluções. Vamos usar a relação entre posto de , número de incógnitas e variáveis livres para analisar essa afirmação.
Passo 2
Em qualquer sistema homogêneo com incógnitas e posto , o número de variáveis livres é . Se , há pelo menos uma variável livre e, portanto, infinitas soluções. Se , não há variável livre e a única solução é a trivial.
Passo 3
Ter uma linha de zeros na forma reduzida garante que (se é ), mas não impede que . Por exemplo, seja
que é de tamanho 3times2. A forma escalonada reduzida de A é ela própria, com uma linha de zeros, mas aqui r=2 e n=2, logo n-r=0 e o sistema A X=0 só tem a solução trivial.
Resposta
Falso. Exemplo:
A= 1 & 0 0 & 1 0 & 0 ,
que tem linha de zeros na forma reduzida mas única solução X=0.