Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro dê uma justificativa curta, e se for falso dê um exemplo.
(b) Se a forma escalonada reduzida da matriz A tem uma linha de zeros, então o sistema A X=0 tem infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre o sistema homogêneo A X = 0 e afirma que, se a forma escalonada reduzida de A tem uma linha de zeros, então o sistema teria infinitas soluções. Vamos usar a relação entre posto de A, número de incógnitas n e variáveis livres para analisar essa afirmação.

Passo 2

Em qualquer sistema homogêneo com n incógnitas e posto rank(A)=r, o número de variáveis livres é n-r. Se r<n, há pelo menos uma variável livre e, portanto, infinitas soluções. Se r=n, não há variável livre e a única solução é a trivial.

Passo 3

Ter uma linha de zeros na forma reduzida garante que r<= m-1 (se A é mtimes n), mas não impede que r=n. Por exemplo, seja
A= 1 & 0 0 & 1 0 & 0 ,
que é de tamanho 3times2. A forma escalonada reduzida de A é ela própria, com uma linha de zeros, mas aqui r=2 e n=2, logo n-r=0 e o sistema A X=0 só tem a solução trivial.

Resposta

Falso. Exemplo:
A= 1 & 0 0 & 1 0 & 0 ,
que tem linha de zeros na forma reduzida mas única solução X=0.

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