Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro dê uma justificativa curta, e se for falso dê um exemplo.
(a) Se A é uma matriz quadrada, então det(-A)=-det(A).

Passo 1

O enunciado pergunta se, para qualquer matriz quadrada A de ordem n, vale sempre
det(-A) = -det(A)
O conteúdo usado aqui é a propriedade de homogeneidade do determinante.

Passo 2

Sabemos que, para todo escalar c e toda matriz quadrada A de ordem n,
det(cA) = c^ndet(A)

Passo 3

Aplicando c=-1, fica
det(-A)=(-1)^ndet(A)
Se n for ímpar, então (-1)^n=-1 e det(-A)=-det(A). Mas se n for par, (-1)^n=+1 e det(-A)=det(A), não sendo igual a -det(A).

Passo 4

Exemplo concreto com n=2: seja
A = 1 & 00 & 1
Então det(A)=1 e
det(-A)=detl(-I2r)=(-1)^2det(I2)=1neq -1 = -det(A)

Resposta

Falso. Por exemplo, para A=I2 tem-se det(-A)=1neq -1=-det(A).

Exercícios relacionados