Considere o sistema linear cx+y-z=3 x-alpha y+z=-3 2 x+z=alpha
Determine os valores de alpha para que o sistema seja:
a) Possível e determinado
b) Possível e indeterminado
c) Impossível

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x + y - z = 3, x - alpha y + z = -3, 2x + z = alpha,
e pede para classificar em função de alpha. Vamos usar determinante da matriz dos coeficientes para ver quando há única solução e, se esse determinante for zero, estudar consistência para distinguir entre infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = 1 & 1 & -1 1 & -alpha & 1 2 & 0 & 1
Calculamos
det(A) =1cdot-alpha & 10&1 -1cdot1&12&1 +(-1)cdot1&-alpha2&0 =-alpha-(1-2)-2alpha =1-3alpha

Passo 3

Se det(A)neq0, o sistema tem solução única. Logo
det(A)neq0iff1-3alphaneq0iffalphaneqtfrac13

Passo 4

Para alpha=tfrac13 temos det(A)=0. Vamos verificar consistência: substituímos alpha=tfrac13 no sistema e eliminamos. Das duas primeiras equações subtraídas, chega-se a
-2y+3z=-9,
e usando a terceira menos duas vezes a primeira,
-2y+3z=-tfrac173
Como -9neq-tfrac173, as duas combinações são conflitantes, logo o sistema é impossível para alpha=tfrac13.

Resposta

a) alphaneqtfrac13
b) não existe valor de alpha que torne o sistema possível e indeterminado
c) alpha=tfrac13

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