Determine k, nos seguintes casos, de acordo com o que se pede.
De modo que o sistema linear homogêneo
2 x1-5 x2+3 x3 & =0 x1+x2 & +x3=0 2 x1 & +k x3=0
tenha uma solução distinta da solução trivial.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de k tal que o sistema linear homogêneo
2x1-5x2+3x3=0, x1+x2+x3=0, 2x1+k,x3=0
tenha uma solução não trivial. O conteúdo principal é que um sistema homogêneo tem solução distinta da trivial se, e somente se, o determinante da matriz de coeficientes for zero.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 2 & -5 & 3 1 & 1 & 1 2 & 0 & k
e aplicamos o critério de existência de solução não trivial, que é
det(A)=0

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 2 & -5 & 3 1 & 1 & 1 2 & 0 & k =2,(1cdot k -1cdot 0) -(-5),(1cdot k -1cdot 2) +3,(1cdot 0 -1cdot 2)
Simplificando,
det(A)=2k +5(k-2)-6 =2k+5k-10-6 =7k-16

Passo 4

Impondo det(A)=0 para ter solução não trivial, obtemos
7k-16=0 Longrightarrow k=167

Resposta

167

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