Eacrever o vetor v in R^2 como combinação linear dos vetores:
v1=(1,3) e v2=(2,5)

Passo 1

A questão pede pra gente escrever um vetor arbitrário vinR^2 como combinação linear de v1=(1,3) e v2=(2,5). O assunto é combinação linear e vamos usar a ideia de resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Vamos chamar o vetor genérico de v=(x,y). Se ele é combinação linear de v1 e v2, existem escalares alpha e beta tais que
v = alpha v1 + beta v2
Isso leva ao sistema de equações
alpha + 2beta = x,
3alpha + 5beta = y

Passo 3

Para achar beta, multiplico a primeira equação por 3 e subtraio da segunda. Assim tenho
3alpha + 6beta = 3x
3alpha + 5beta = y
Subtraindo:
(3alpha+6beta) - (3alpha+5beta) = 3x - y implies beta = 3x - y

Passo 4

Agora substituo beta = 3x - y na primeira equação para encontrar alpha:
alpha + 2(3x - y) = x implies alpha + 6x - 2y = x implies alpha = x - 6x + 2y = 2y - 5x

Passo 5

Portanto os coeficientes são
alpha = 2y - 5x, beta = 3x - y
Logo a combinação linear fica
v = (2y - 5x),v1 , + (3x - y),v2

Resposta

Para um vetor v=(x,y), temos v = (2y - 5x),(1,3) + (3x - y),(2,5), isto é, alpha = 2y - 5x e beta = 3x - y.

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