Considere o sistema linear
Determine os valores de a para que o sistema tenha:
(a) solução única e determine a solução do sistema;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre sistemas lineares, onde temos três equações com três variáveis: x , y e z . A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente, determinantes e matrizes para descobrir para quais valores de a o sistema tem uma solução única e, depois, encontrar essa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa colocar os números que estão na frente das variáveis x , y e z em uma matriz. Nosso sistema é:
x + y - a z = 1 2x + 2y + (a^2 + 1)z = 3 x + (a + 1)y + 2z = 3
Então, a matriz fica assim:
A = 1 & 1 & -a 2 & 2 & a^2 + 1 1 & a + 1 & 2
Passo 3
Para saber se o sistema tem uma solução única, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero ( det(A) neq 0 ), então o sistema tem uma única solução. Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 1 & 1 & -a 2 & 2 & a^2 + 1 1 & a + 1 & 2
Passo 4
Vamos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vou usar a regra de Laplace aqui:
Então, para que o sistema tenha uma solução única, a não pode ser igual a 0 nem a -1.
Passo 7
Agora que sabemos que para a neq 0 e a neq -1 , o sistema tem uma solução única, vamos encontrar essa solução. Podemos usar o método de Cramer, que envolve substituir as colunas da matriz original pelos termos constantes e calcular determinantes.
Primeiro, vamos definir as matrizes:
A = 1 & 1 & -a 2 & 2 & a^2 + 1 1 & a + 1 & 2 , B = 1 3 3
As soluções serão:
x = det(Ax)det(A), y = det(Ay)det(A), z = det(Az)det(A)
Onde Ax , Ay , Az são as matrizes A com a respectiva coluna substituída por B .
De forma semelhante, podemos calcular det(Ay) e det(Az) e encontrar as expressões para y e z . Porém, para simplificar, podemos resolver o sistema utilizando métodos de substituição ou eliminação, já que já sabemos que a solução é única.
Após realizar os cálculos, encontramos que:
x = a^2 - 3a - 2-(a + 1)^2, y = 2a + 1a + 1, z = a + 2a + 1
Resposta
Para a neq 0 e a neq -1 , o sistema possui solução única dada por:
x = a^2 - 3a - 2-(a + 1)^2, y = 2a + 1a + 1, z = a + 2a + 1