Considere o sistema linear
. Se A for mal condicionado, um resíduo muito pequeno pode não garantir uma boa solução. Além disso, mesmo uma boa solução pode apresentar resíduos grandes. Os itens abaixo ilustram estas afirmativas.
Sejam:
A solução exata de
é
. Verifique o resíduo associado ao vetor
e discuta o resultado obtido.
Sejam:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Matriz e vetor
e dados:
- Dizem que a solução exata de
é . - Pede para verificar o resíduo associado ao vetor candidato
e discutir o resultado obtido.
Observações do que vou calcular (sem resolver ainda): o resíduo é definido por
. Vou calcular explicitamente
, depois
, depois medidas do resíduo (normas relativas) e comparar com o erro da solução para discutir por que um resíduo pequeno pode não garantir uma boa solução quando
é mal condicionada.]
Passo 2
Calcular
por multiplicação de matriz por vetor. Multiplica-se cada linha de
pelo vetor
:
Passo 3
Calcular o resíduo
componente a componente:
Portanto o resíduo exato é
]
Passo 4
Explicar o que significa esse resíduo e medir sua magnitude com normas simples.
- A norma infinita (máxima soma absoluta por linha) é conveniente para matrizes e vetores com entradas grandes. Para o resíduo:
- Para o vetor
:
- O resíduo relativo (na norma infinita) é
Conclusão: o resíduo absoluto é pequeno (valor
) e o resíduo relativo também é pequeno (aprox.\
).
Passo 5
Calcular o erro da solução candidata em relação à solução exata.
- Vetor erro:
- Norma infinita do erro:
- Norma infinita da solução exata:
- Erro relativo (norma infinita):
ou seja,
de erro relativo (a solução
está muito longe de
em termos relativos).]
Passo 6
Explicar por que isso acontece: número de condição / sensibilidade.
- Número de condição (na norma infinita) é
. - Primeiro calcule
: soma absoluta das linhas:
- Calcule
. Para ,
- Norma infinita de
:
- Logo
(Isto é, ordem de grandeza
, ou seja, bem grande — matriz mal condicionada.)]
Passo 7
Relacionar erro relativo com resíduo relativo usando o número de condição.
- Existe uma desigualdade (forma grosseira, com a mesma norma) do tipo
ou seja: erro relativo
número de condição
resíduo relativo (esta desigualdade captura a sensibilidade do problema).
- Substituindo números (todas normas na norma infinita):
que é um limite superior (não necessariamente exatamente igual ao erro) e, de fato, é maior que o erro relativo calculado (=1). O ponto importante: o fator
amplifica mesmo um resíduo relativo pequeno, permitindo um erro relativo grande.
Passo 8
Interpretação final e discussão didática (tom amigo e encorajador).
- Resultado calculado: o resíduo de
é , pequeno comparado a . À primeira vista isso poderia enganar: “resíduo pequeno → solução boa”. Aqui esse raciocínio falha porque a matriz é mal condicionada ( grande). Assim, erros pequenos no resíduo (ou pequenas perturbações nos dados) podem resultar em erros grandes na solução. - Em palavras simples: o resíduo mede quanto o par
falha em satisfazer (a parte “backward”). O erro entre e a solução verdadeira mede o quanto está afastado da solução exata (a parte “forward”). Quando é mal condicionado, um pequeno resíduo backward não garante um pequeno erro forward. É por isso que, em provas e na prática numérica, sempre é importante verificar também o número de condição ou usar métodos/precisão adequados.]
Resposta
O resíduo é
.
Apesar de ser pequeno relativamente a
(resíduo relativo
), o erro relativo na solução é
(100%), pois
é grande (aprox.\
), mostrando que matriz mal condicionada permite resíduo pequeno junto com solução ruim.]
Apesar de