Considere o sistema linear A x=b. Se A for mal condicionado, um resíduo muito pequeno pode não garantir uma boa solução. Além disso, mesmo uma boa solução pode apresentar resíduos grandes. Os itens abaixo ilustram estas afirmativas.
Sejam:
A=\left[\begin{array}{ll}1,000 & 1,001 \\\ 1,000 & 1,000\end{array}\right] \text { e } b=\left[\begin{array}{l}2,001 \\\ 2,000\end{array}\right]
A solução exata de A x \boxminus \mathbb{b}𝕓 é \mathrm{x}=[1,1]^{T}. Verifique o resíduo associado ao vetor \mathrm{x}^{*}=[2,0]^{T} e discuta o resultado obtido.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Matriz e vetor \,A e \,b dados:
A=\begin{pmatrix}1000 & 1001\\[4pt]1000 & 1000\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2001\\[4pt]2000\end{pmatrix}.
  • Dizem que a solução exata de A x=b é \,x=[1,1]^{T}.
  • Pede para verificar o resíduo associado ao vetor candidato \,x^{*}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix} e discutir o resultado obtido.
Observações do que vou calcular (sem resolver ainda): o resíduo é definido por \,r=b-Ax^{*}. Vou calcular explicitamente A x^{*}, depois r, depois medidas do resíduo (normas relativas) e comparar com o erro da solução para discutir por que um resíduo pequeno pode não garantir uma boa solução quando A é mal condicionada.]

Passo 2

Calcular A x^{*} por multiplicação de matriz por vetor. Multiplica-se cada linha de A pelo vetor \,x^{*}:
A x^{*}= \begin{pmatrix} 1000 & 1001\\[4pt] 1000 & 1000 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1000\cdot 2 + 1001\cdot 0\\[4pt] 1000\cdot 2 + 1000\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2000\\[4pt] 2000 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o resíduo r=b-Ax^{*} componente a componente:
r=b-Ax^{*}= \begin{pmatrix}2001\\[4pt]2000\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2000\\[4pt]2000\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto o resíduo exato é \;r=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Explicar o que significa esse resíduo e medir sua magnitude com normas simples.
  • A norma infinita (máxima soma absoluta por linha) é conveniente para matrizes e vetores com entradas grandes. Para o resíduo:
\|r\|_{\infty}=\max(|1|,|0|)=1.
  • Para o vetor b:
\|b\|_{\infty}=\max(2001,2000)=2001.
  • O resíduo relativo (na norma infinita) é
\frac{\|r\|_{\infty}}{\|b\|_{\infty}}=\frac{1}{2001}\approx 4,9975\times 10^{-4}.
Conclusão: o resíduo absoluto é pequeno (valor 1) e o resíduo relativo também é pequeno (aprox.\ 5\cdot10^{-4}).

Passo 5

Calcular o erro da solução candidata em relação à solução exata.
  • Vetor erro: \,e=x^{*}-x=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Norma infinita do erro:
\|e\|_{\infty}=\max(|1|,|{-1}|)=1.
  • Norma infinita da solução exata:
\|x\|_{\infty}=\max(|1|,|1|)=1.
  • Erro relativo (norma infinita):
\frac{\|e\|_{\infty}}{\|x\|_{\infty}}=\frac{1}{1}=1,
ou seja, 100\% de erro relativo (a solução x^{*} está muito longe de x em termos relativos).]

Passo 6

Explicar por que isso acontece: número de condição / sensibilidade.
  • Número de condição (na norma infinita) é \displaystyle \operatorname{cond}_{\infty}(A)=\|A\|_{\infty}\,\|A^{-1}\|_{\infty}.
  • Primeiro calcule \|A\|_{\infty}: soma absoluta das linhas:
\|A\|_{\infty}=\max(1000+1001,\;1000+1000)=\max(2001,2000)=2001.
  • Calcule A^{-1}. Para 2\times2,
\det(A)=1000\cdot 1000 - 1001\cdot 1000 = -1000.
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}1000 & -1001\\[4pt]-1000 & 1000\end{pmatrix} =\frac{1}{-1000}\begin{pmatrix}1000 & -1001\\[4pt]-1000 & 1000\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1{,}001\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
  • Norma infinita de A^{-1}:
\|A^{-1}\|_{\infty}=\max(|{-1}|+|1{,}001|,\;|1|+|{-1}|)=\max(2{,}001,\;2)=2{,}001.
  • Logo
\operatorname{cond}_{\infty}(A)=2001\times 2{,}001 \approx 4{,}004{,}001\;(\text{observação: numericamente } \approx 4004{,}001).çã
(Isto é, ordem de grandeza \sim 4{,}004, ou seja, bem grande — matriz mal condicionada.)]

Passo 7

Relacionar erro relativo com resíduo relativo usando o número de condição.
  • Existe uma desigualdade (forma grosseira, com a mesma norma) do tipo
\frac{\|e\|}{\|x\|}\le \operatorname{cond}(A)\,\frac{\|r\|}{\|b\|},
ou seja: erro relativo \le número de condição \times resíduo relativo (esta desigualdade captura a sensibilidade do problema).
  • Substituindo números (todas normas na norma infinita):
\operatorname{cond}_{\infty}(A)\,\frac{\|r\|_{\infty}}{\|b\|_{\infty}} \approx 4{,}004{,}001\times\frac{1}{2001}\approx 2{,}001,
que é um limite superior (não necessariamente exatamente igual ao erro) e, de fato, é maior que o erro relativo calculado (=1). O ponto importante: o fator \operatorname{cond}(A) amplifica mesmo um resíduo relativo pequeno, permitindo um erro relativo grande.

Passo 8

Interpretação final e discussão didática (tom amigo e encorajador).
  • Resultado calculado: o resíduo de x^{*} é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}, pequeno comparado a b. À primeira vista isso poderia enganar: “resíduo pequeno → solução boa”. Aqui esse raciocínio falha porque a matriz A é mal condicionada ( \operatorname{cond}_{\infty}(A) grande). Assim, erros pequenos no resíduo (ou pequenas perturbações nos dados) podem resultar em erros grandes na solução.
  • Em palavras simples: o resíduo mede quanto o par (A,x^{*}) falha em satisfazer Ax=b (a parte “backward”). O erro entre x^{*} e a solução verdadeira mede o quanto x^{*} está afastado da solução exata (a parte “forward”). Quando A é mal condicionado, um pequeno resíduo backward não garante um pequeno erro forward. É por isso que, em provas e na prática numérica, sempre é importante verificar também o número de condição ou usar métodos/precisão adequados.]

Resposta

O resíduo é r=b-Ax^{*}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Apesar de \|r\|_{\infty}=1 ser pequeno relativamente a \|b\|_{\infty}=2001 (resíduo relativo 1/2001), o erro relativo na solução é 1 (100%), pois \operatorname{cond}_{\infty}(A) é grande (aprox.\ 4{,}004), mostrando que matriz mal condicionada permite resíduo pequeno junto com solução ruim.]

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