Questão: A função
é tabelada para
. Encontre o erro máximo para a interpolação linear.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar direitinho para a gente não se perder):
- Função fornecida:
. - Intervalo onde a função foi tabelada:
. - Passo (malha) usado na tabela:
. - O que se pede: encontrar o erro máximo para a interpolação linear construída com essa malha (ou seja, uma estimativa do maior erro que a interpolação linear pode cometer em
).
Passo 2
Apresentar a fórmula geral do erro na interpolação linear e explicar cada pedaço.
Teorema (erro da interpolação linear em um subintervalo). Seja
duas vezes diferenciável em
. Se
é o polinômio linear que interpola
em
e
, então, para todo
, existe
tal que
Explicando as variáveis:
-
é a função que queremos aproximar ( no nosso caso). -
é o segmento de reta que passa pelos pontos e . -
é o ponto onde medimos o erro dentro do subintervalo. -
é algum ponto no mesmo subintervalo (aparece pela forma do teorema do resto). -
é a segunda derivada avaliada em .
Agora vamos usar essa expressão para obter um cotas uniforme. Note que, para um dado subintervalo de comprimento
, o produto
atinge em magnitude o seu máximo no ponto médio
, e nesse ponto
Logo, se definirmos
então, em cada subintervalo,
Portanto a cota global (sobre todo o intervalo
) para o erro máximo da interpolação linear é
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Em palavras: o erro máximo é proporcional a
e ao maior valor absoluto da segunda derivada da função no intervalo.
Passo 3
Calcular
para
e encontrar
.
Primeiro derivada:
Segunda derivada:
O valor absoluto da segunda derivada é
No intervalo
a função
é decrescente, então o máximo ocorre em
. Assim
Passo 4
Substituir os valores na cota
.
Temos
e
. Então
Calculemos:
Portanto a cota do erro máximo é
(ou exatamente
).
Passo 5
Interpretação e observação prática (rápido e motivador).
- Isso significa que, usando interpolação linear com passo
para em , o erro absoluto em qualquer ponto do intervalo é no máximo . - A cota foi obtida usando o maior valor absoluto da segunda derivada em todo o intervalo; na prática o erro real pode ser menor (especialmente longe de
), mas essa é a garantia teórica segura que se usa em prova. - Você pode anotar esse raciocínio como: derivadas → fórmula do resto → determinar
→ aplicar . Tá ótimo para a prova — conciso e completo!