Questão: A função y=\ln (x) é tabelada para x \in[1,10] \operatorname{com} h=0,5. Encontre o erro máximo para a interpolação linear.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar direitinho para a gente não se perder):
  • Função fornecida: \ln(x).
  • Intervalo onde a função foi tabelada: x\in[1,10].
  • Passo (malha) usado na tabela: h=0,5.
  • O que se pede: encontrar o erro máximo para a interpolação linear construída com essa malha (ou seja, uma estimativa do maior erro que a interpolação linear pode cometer em [1,10]).

Passo 2

Apresentar a fórmula geral do erro na interpolação linear e explicar cada pedaço.
Teorema (erro da interpolação linear em um subintervalo). Seja f duas vezes diferenciável em [x_i,x_{i+1}]. Se L(x) é o polinômio linear que interpola f em x_i e x_{i+1}, então, para todo x\in[x_i,x_{i+1}], existe \xi\in[x_i,x_{i+1}] tal que
f(x)-L(x)=\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-x_i)(x-x_{i+1}).
Explicando as variáveis:
  • f é a função que queremos aproximar ( \ln(x) no nosso caso).
  • L(x) é o segmento de reta que passa pelos pontos (x_i,f(x_i)) e (x_{i+1},f(x_{i+1})).
  • x é o ponto onde medimos o erro dentro do subintervalo.
  • \xi é algum ponto no mesmo subintervalo (aparece pela forma do teorema do resto).
  • f''(\xi) é a segunda derivada avaliada em \xi.
Agora vamos usar essa expressão para obter um cotas uniforme. Note que, para um dado subintervalo de comprimento h=x_{i+1}-x_i, o produto (x-x_i)(x-x_{i+1}) atinge em magnitude o seu máximo no ponto médio x=\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}, e nesse ponto
\left|(x-x_i)(x-x_{i+1})\right|=\frac{h^2}{4}.
Logo, se definirmos
M_2=\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|,
então, em cada subintervalo,
|f(x)-L(x)| \le \frac{M_2}{2}\cdot\frac{h^2}{4}=\frac{M_2}{8}\,h^2.
Portanto a cota global (sobre todo o intervalo [a,b]) para o erro máximo da interpolação linear é
E_{\max}\le \frac{M_2}{8}\,h^2.
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Em palavras: o erro máximo é proporcional a h^2 e ao maior valor absoluto da segunda derivada da função no intervalo.

Passo 3

Calcular f''(x) para f(x)=\ln(x) e encontrar M_2.
Primeiro derivada:
f'(x)=\frac{1}{x}.
Segunda derivada:
f''(x)=-\frac{1}{x^2}.
O valor absoluto da segunda derivada é
|f''(x)|=\frac{1}{x^2}.
No intervalo [1,10] a função 1/x^2 é decrescente, então o máximo ocorre em x=1. Assim
M_2=\max_{x\in[1,10]}|f''(x)|=\frac{1}{1^2}=1.

Passo 4

Substituir os valores na cota E_{\max}\le \dfrac{M_2}{8}h^2.
Temos M_2=1 e h=0,5. Então
E_{\max}\le \frac{1}{8}\,h^2=\frac{1}{8}\,(0,5)^2.
Calculemos:
(0,5)^2=0,25, \qquad \frac{0,25}{8}=\frac{1}{32}=0,03125.
Portanto a cota do erro máximo é 0,03125 (ou exatamente \dfrac{1}{32}).

Passo 5

Interpretação e observação prática (rápido e motivador).
  • Isso significa que, usando interpolação linear com passo h=0,5 para \ln(x) em [1,10], o erro absoluto em qualquer ponto do intervalo é no máximo 0,03125.
  • A cota foi obtida usando o maior valor absoluto da segunda derivada em todo o intervalo; na prática o erro real pode ser menor (especialmente longe de x=1), mas essa é a garantia teórica segura que se usa em prova.
  • Você pode anotar esse raciocínio como: derivadas → fórmula do resto → determinar M_2 → aplicar E_{\max}\le \dfrac{M_2}{8}h^2. Tá ótimo para a prova — conciso e completo!

Resposta

\displaystyle E_{\max}\le \frac{1}{32}=0,03125

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