1. Pela regra do trapézio, encontre o valor de
\int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}} d x
com \mathrm{n}=6. Calcule, em seguida, uma estimativa para o erro usando a regra do trapézio. Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que 0,001=10-3 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver nada ainda).
  • O enunciado pede três coisas:
    1. Aproximar \displaystyle \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}}\,dx usando a regra do trapézio composta com \,n=6.
    2. Calcular uma estimativa para o erro dessa aproximação usando a fórmula de erro da regra do trapézio.
    3. Determinar quantas subdivisões \,n são necessárias para que o erro seja menor que 0,001=10^{-3}.
  • Dados fornecidos:
    • Função: \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}.
    • Intervalo: [a,b]=[1,7].
    • Número de subdivisões pedido para a primeira parte: n=6.

Passo 2

Vou apresentar a fórmula da regra do trapézio composta e a fórmula de estimativa de erro, explicando cada símbolo.
  • Passo de malha (largura de subintervalo):
    h=\frac{b-a}{n}.
    Aqui a e b são os extremos do intervalo e n é o número de subintervalos. O comprimento de cada subintervalo é h.
  • Regra do trapézio composta (valor aproximado T_{n}):
    T_{n}=h\left(\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(a+i h)\right).
    Explicando: soma-se as alturas nos pontos internos f(a+ih) (com peso 1) e dá-se peso 1/2 aos extremos f(a) e f(b), depois multiplica-se tudo por h.
  • Fórmula de estimativa de erro (cota do erro absoluto) para a regra do trapézio composta:
    |E_{T}| \le \frac{(b-a)\,h^{2}}{12}\,M,
    onde M é uma constante tal que M\ge \max_{x\in[a,b]} |f''(x)|. Ou, escrevendo em termos de n,
    |E_{T}| \le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,M.
    Aqui f'' é a segunda derivada de f; a fórmula diz que o erro do trapézio é controlado pelo tamanho do intervalo, pelo quadrado do passo h e pelo tamanho máximo de |f''| no intervalo.

Passo 3

Calcular h e os pontos da malha para n=6.
  • h=\frac{b-a}{n}=\frac{7-1}{6}=\frac{6}{6}=1.
  • Os nós são \,x_{0}=1,\;x_{1}=2,\;x_{2}=3,\;x_{3}=4,\;x_{4}=5,\;x_{5}=6,\;x_{6}=7.

Passo 4

Avaliar a função \,f(x)=\dfrac{1}{x^{2}} nos nós x_{i}.
  • f(1)=\frac{1}{1^{2}}=1.
  • f(2)=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}=0,25.
  • f(3)=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}\approx 0,1111111111.
  • f(4)=\frac{1}{4^{2}}=\frac{1}{16}=0,0625.
  • f(5)=\frac{1}{5^{2}}=\frac{1}{25}=0,04.
  • f(6)=\frac{1}{6^{2}}=\frac{1}{36}\approx 0,0277777778.
  • f(7)=\frac{1}{7^{2}}=\frac{1}{49}\approx 0,0204081633.

Passo 5

Calcular a soma necessária para T_{6} e obter a aproximação.
  • Soma das avaliações internas \sum_{i=1}^{5} f(x_{i}): S_{\text{int}}=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)
S_{\text{int}}=0,25+0,1111111111+0,0625+0,04+0,0277777778\approx 0,4913888889.
  • Média dos extremos: \frac{f(1)+f(7)}{2}=\frac{1+\tfrac{1}{49}}{2}=\frac{1,0204081633}{2}\approx 0,5102040816.
  • Como h=1, aplicando a fórmula: T_{6}=1\left(0,5102040816 + 0,4913888889\right)\approx 1,0015929705.
Portanto a aproximação obtida pela regra do trapézio composta com n=6 é aproximadamente \,1,0015929705.

Passo 6

Calcular a integral exata (para ter referência) e o erro real obtido (isso ajuda a entender se a cota de erro é boa).
  • Integral exata: \int_{1}^{7}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\int_{1}^{7} x^{-2}\,dx=\left[-x^{-1}\right]_{1}^{7}=\left(-\frac{1}{7}\right)-\left(-1\right)=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}\approx 0,8571428571.
  • Erro real (diferença entre aproximação e exato): E_{\text{real}}=T_{6}-\frac{6}{7}\approx 1,0015929705-0,8571428571\approx 0,1444501134.
Comentário: como f''(x)>0 (função convexa), o trapézio tende a sobrestimar a integral, e de fato temos um erro positivo.

Passo 7

Encontrar a cota teórica de erro usando a fórmula do trapézio (precisa de M=\max_{[1,7]}|f''(x)|).
  • Calcular as derivadas: f(x)=x^{-2},\qquad f'(x)=-2x^{-3},\qquad f''(x)=6x^{-4}.
  • No intervalo [1,7] temos |f''(x)|=\dfrac{6}{x^{4}}. Como x^{4} cresce com x, |f''(x)| é máxima em x=1. Portanto M=\max_{x\in[1,7]} |f''(x)|=|f''(1)|=6.
  • Aplicando a cota (usando a forma com n): |E_{T}|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,M.Substituindo b-a=6 e M=6: |E_{T}|\le \frac{6^{3}}{12\,n^{2}}\cdot 6=\frac{216}{12\,n^{2}}\cdot 6=\frac{108}{n^{2}}.
  • Para n=6: |E_{T}|\le \frac{108}{6^{2}}=\frac{108}{36}=3.
Observação didática: essa é uma cota teórica; aqui ela é bem frouxa (muito maior que o erro real \approx 0,14445 ), porque a cota usa o valor máximo de |f''| em todo o intervalo e a fórmula é uma estimativa universal.

Passo 8

Determinar quantas subdivisões n são necessárias para garantir |E_{T}|<0,001 usando a cota teórica.
  • Queremos \dfrac{108}{n^{2}}<0,001.
  • Resolver: n^{2}>\frac{108}{0,001}=108000.
n>\sqrt{108000}\approx 328,633536.
  • Como n deve ser inteiro, precisamos de n\ge 329. Verificação rápida: \frac{108}{329^{2}}\approx 0,000998<0,001,enquanto para n=328 teríamos \dfrac{108}{328^{2}}\approx 0,001004>0,001. Portanto o menor n inteiro que garante a cota desejada é 329.

Passo 9

Resumo final e incentivo: fizemos a aproximação com n=6, calculamos a integral exata para comparar, achamos a cota teórica de erro (que aqui é conservadora) e resolvemos para n exigido. Vai dar certo; se precisar eu faço a mesma conta com outra regra (por exemplo Simpson) que costuma dar erro bem menor para menos subdivisões.

Resposta

Aproximação pela regra do trapézio com n=6: 1,0015929705
Estimativa teórica do erro (cota pelo teorema do trapézio): |E_{T}|\le 3
Número mínimo de subdivisões para |E_{T}|<0,001: 329

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