- Pela regra do trapézio, encontre o valor de
com
. Calcule, em seguida, uma estimativa para o erro usando a regra do trapézio. Quantas subdivisões deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver nada ainda).
-
O enunciado pede três coisas:
- Aproximar
usando a regra do trapézio composta com . - Calcular uma estimativa para o erro dessa aproximação usando a fórmula de erro da regra do trapézio.
- Determinar quantas subdivisões
são necessárias para que o erro seja menor que .
- Aproximar
-
Dados fornecidos:
- Função:
. - Intervalo:
. - Número de subdivisões pedido para a primeira parte:
.
- Função:
Passo 2
Vou apresentar a fórmula da regra do trapézio composta e a fórmula de estimativa de erro, explicando cada símbolo.
-
Passo de malha (largura de subintervalo):Aqui
e são os extremos do intervalo e é o número de subintervalos. O comprimento de cada subintervalo é . -
Regra do trapézio composta (valor aproximado
): Explicando: soma-se as alturas nos pontos internos(com peso 1) e dá-se peso aos extremos e , depois multiplica-se tudo por . -
Fórmula de estimativa de erro (cota do erro absoluto) para a regra do trapézio composta:onde
é uma constante tal que . Ou, escrevendo em termos de , Aquié a segunda derivada de ; a fórmula diz que o erro do trapézio é controlado pelo tamanho do intervalo, pelo quadrado do passo e pelo tamanho máximo de no intervalo.
Passo 3
Calcular
e os pontos da malha para
.
-
- Os nós são
Passo 4
Avaliar a função
nos nós
.
Passo 5
Calcular a soma necessária para
e obter a aproximação.
- Soma das avaliações internas
:
- Média dos extremos:
- Como
, aplicando a fórmula:
Portanto a aproximação obtida pela regra do trapézio composta com
é aproximadamente
.
Passo 6
Calcular a integral exata (para ter referência) e o erro real obtido (isso ajuda a entender se a cota de erro é boa).
- Integral exata:
- Erro real (diferença entre aproximação e exato):
Comentário: como
(função convexa), o trapézio tende a sobrestimar a integral, e de fato temos um erro positivo.
Passo 7
Encontrar a cota teórica de erro usando a fórmula do trapézio (precisa de
).
- Calcular as derivadas:
- No intervalo
temos . Como cresce com , é máxima em . Portanto - Aplicando a cota (usando a forma com
): Substituindo e : - Para
:
Observação didática: essa é uma cota teórica; aqui ela é bem frouxa (muito maior que o erro real
), porque a cota usa o valor máximo de
em todo o intervalo e a fórmula é uma estimativa universal.
Passo 8
Determinar quantas subdivisões
são necessárias para garantir
usando a cota teórica.
- Queremos
. - Resolver:
- Como
deve ser inteiro, precisamos de . Verificação rápida: enquanto para teríamos . Portanto o menor inteiro que garante a cota desejada é .
Passo 9
Resumo final e incentivo: fizemos a aproximação com
, calculamos a integral exata para comparar, achamos a cota teórica de erro (que aqui é conservadora) e resolvemos para
exigido. Vai dar certo; se precisar eu faço a mesma conta com outra regra (por exemplo Simpson) que costuma dar erro bem menor para menos subdivisões.
Resposta
Aproximação pela regra do trapézio com
:
Estimativa teórica do erro (cota pelo teorema do trapézio):
Número mínimo de subdivisões para :
Estimativa teórica do erro (cota pelo teorema do trapézio):
Número mínimo de subdivisões para