Considere o sistema linear homogêneo definido por:
onde
é a matriz
dada por:
Determine as condições necessárias e suficientes para os coeficientes
para que o sistema seja assintoticamente estável.
Passo 1
O enunciado define o sistema homogêneo
com
. Queremos as condições em
para o sistema ser assintoticamente estável, ou seja, todas as partes reais dos autovalores de
negativas. Para isso, vamos obter o polinômio característico e usar o critério de estabilidade de Routh–Hurwitz para polinômios de grau 2.
Passo 2
O polinômio característico de
é dado por
. Calculando, temos:
Passo 3
O critério de Routh–Hurwitz para um polinômio
ter raízes com parte real negativa exige
e
. Aqui escrevemos:
logo
e
. Assim as condições são:
Passo 4
Simplificando a primeira desigualdade, chegamos a:
que são as condições necessárias e suficientes para o sistema ser assintoticamente estável.