Considere o sistema linear homogêneo definido por:
x^prime(t)=A x(t)
onde A é a matriz 2 times 2 dada por:
A=[ll p & q r & s ]
Determine as condições necessárias e suficientes para os coeficientes p, q, r, s para que o sistema seja assintoticamente estável.

Passo 1

O enunciado define o sistema homogêneo x'(t)=Ax(t) com A=p&qr&s. Queremos as condições em p,q,r,s para o sistema ser assintoticamente estável, ou seja, todas as partes reais dos autovalores de A negativas. Para isso, vamos obter o polinômio característico e usar o critério de estabilidade de Routh–Hurwitz para polinômios de grau 2.

Passo 2

O polinômio característico de A é dado por p(lambda)=det(A-lambda I). Calculando, temos:
p(lambda)=lambda^2-(p+s)lambda+(ps-qr)

Passo 3

O critério de Routh–Hurwitz para um polinômio lambda^2+a1lambda+a0 ter raízes com parte real negativa exige a1>0 e a0>0. Aqui escrevemos:
lambda^2-(p+s)lambda+(ps-qr)=lambda^2+l(-(p+s)r)lambda+(ps-qr),
logo a1=-(p+s) e a0=ps-qr. Assim as condições são:
-(p+s)>0e ps-qr>0

Passo 4

Simplificando a primeira desigualdade, chegamos a:
p+s<0e ps-qr>0,
que são as condições necessárias e suficientes para o sistema ser assintoticamente estável.

Resposta

p+s<0 e ps-qr>0

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