Desenhe a imagem das funções vetoriais:
F(t)=(3+t) i+(2-t) j+(1+2 t) k ; t >=-1;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você pediu! A questão é sobre funções vetoriais e queremos desenhar a imagem da função F(t) = (3 + t)i + (2 - t)j + (1 + 2t)k para t >= -1 . Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções vetoriais funcionam e como representá-las graficamente no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada componente da função vetorial F(t) . Ela está definida em termos das unidades vetoriais i , j e k , que representam os eixos x , y e z respectivamente no espaço 3D.
A função pode ser decomposta da seguinte forma:
F(t) = (3 + t)i + (2 - t)j + (1 + 2t)k
Isso significa que:
  • A componente x é 3 + t
  • A componente y é 2 - t
  • A componente z é 1 + 2t

Passo 3

Agora, vamos pensar no que essa função representa geometricamente. Uma função vetorial como essa define uma reta no espaço tridimensional. Isso porque cada componente é uma função linear de [t).
Para visualizar isso, podemos reescrever a função de forma paramétrica:
Aqui, à medida que traçam uma linha no espaço.

Passo 4

Vamos determinar pontos específicos para ajudar no desenho da reta. Vamos escolher alguns valores de t maiores ou iguais a -1:
  • Para t = -1 :
    x = 3 + (-1) = 2 y = 2 - (-1) = 3 z = 1 + 2(-1) = -1
    Ponto: (2, 3, -1)
  • Para t = 0 :
    x = 3 + 0 = 3 y = 2 - 0 = 2 z = 1 + 0 = 1
    Ponto: (3, 2, 1)
  • Para t = 1 :
    x = 3 + 1 = 4 y = 2 - 1 = 1 z = 1 + 2(1) = 3
    Ponto: (4, 1, 3)
Esses pontos nos ajudam a identificar e desenhar a reta no espaço.

Passo 5

Com os pontos determinados, podemos agora desenhar a reta. Imagine um sistema de coordenadas 3D com os eixos x , y e z . Marque os pontos (2, 3, -1) , (3, 2, 1) e (4, 1, 3) nesse espaço e conecte-os com uma linha reta. Essa linha representa a imagem da função vetorial F(t) para t >= -1 .

Resposta

A imagem da função vetorial F(t) = (3 + t)i + (2 - t)j + (1 + 2t)k para t >= -1 é uma reta no espaço tridimensional que passa pelos pontos (2, 3, -1) , (3, 2, 1) e (4, 1, 3) . Essa reta pode ser desenhada conectando esses pontos no sistema de coordenadas 3D.

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