Construa uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes, não homogênea, tal que todas as soluções
tendam a
à medida que
e cuja a solução particular possa ser obtida exclusivamente pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
O exercício pede uma EDO linear de 3ª ordem, com coeficientes constantes, não homogênea, de modo que toda solução y(t)→−∞ quando t→+∞ e cuja solução particular não possa ser obtida por coeficientes a determinar, obrigando o uso de variação de parâmetros. Para isso precisamos de dois ingredientes: um operador homogêneo estável (raízes com parte real negativa) e um termo não homogêneo fora da classe «polinômios, exponenciais, senos e cossenos».
Passo 2
Escolhemos como parte homogênea a equação cujo polinômio característico seja (r+1)³=0. Isso dá raízes r=−1 (multiplicidade 3), garantindo que qualquer combinação linear de e^{−t}, te^{−t}, t²e^{−t} tende a zero quando t→+∞. Em termos de EDO:
Passo 3
Agora precisamos de um termo forçante f(t) que não esteja na família tratável por coeficientes a determinar. Uma escolha clássica é f(t)=−ln(t), t>0, pois ln(t) não é polinomial nem exponencial nem trigonométrico. Assim, o método de coeficientes a determinar não se aplica e fica obrigatória a variação de parâmetros.
Passo 4
Por fim, verificamos o comportamento assintótico. Como o sistema homogêneo é estável, sua contribuição y_h(t)→0. A solução particular de uma EDO estável forçada por −ln(t) tem comportamento assintótico y_p(t)∼−ln(t) (pois é uma convolução com um núcleo decrescente). Então y(t)=y_h+ y_p∼−ln(t)→−∞ quando t→+∞.
Passo 5
Portanto a equação desejada é obtida juntando o lado homogêneo estável e o forçante −ln(t).