Considere um sistema linear homogêneo com o mesmo número de equações e incógnitas. Suponha que os vetores coluna da matriz de coeficientes são linearmente independentes. Mostre, sem usar determinante, que a única solução desse sistema é a solução trivial.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema homogêneo
onde
é uma matriz quadrada de ordem
e seus vetores coluna são linearmente independentes. O conteúdo a usar é a definição de independência linear de vetores em
: a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial.
Passo 2
Denotemos as colunas de
por
e escrevamos
Então
e a equação
fica
Passo 3
Pela hipótese, os vetores
são linearmente independentes. Por definição de independência, a única forma de obter
como combinação linear é ter
Passo 4
Assim, a única solução do sistema homogêneo é
Resposta
A única solução do sistema é a solução trivial
.