Considere um sistema linear homogêneo com o mesmo número de equações e incógnitas. Suponha que os vetores coluna da matriz de coeficientes são linearmente independentes. Mostre, sem usar determinante, que a única solução desse sistema é a solução trivial.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema homogêneo
Ax = 0,
onde A é uma matriz quadrada de ordem n e seus vetores coluna são linearmente independentes. O conteúdo a usar é a definição de independência linear de vetores em R^n: a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial.

Passo 2

Denotemos as colunas de A por a1,dots,an e escrevamos
x = (x1,dots,xn)^top
Então
Ax =;x1a1 + x2a2 + cdots + xnan
e a equação Ax=0 fica
x1a1 + x2a2 + cdots + xnan = 0

Passo 3

Pela hipótese, os vetores a1,dots,an são linearmente independentes. Por definição de independência, a única forma de obter 0 como combinação linear é ter
x1 = x2 = cdots = xn = 0

Passo 4

Assim, a única solução do sistema homogêneo é
x = 0

Resposta

A única solução do sistema é a solução trivial x=0.

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