Considere o sistema linear
x1+3 x2+x3 & =4 2 x1+2 x2+x3 & =-1 2 x1+3 x2+x3 & =3
Se A é a matriz de coeficientes do sistema apresentado, determine a inversa de A.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x1+3x2+x3=4, 2x1+2x2+x3=-1, 2x1+3x2+x3=3,
queremos encontrar a inversa da matriz de coeficientes
A= 1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 2 & 3 & 1
O método usado será eliminação de Gauss–Jordan em [Amid I], até obter [Imid A^-1].

Passo 2

Escrevemos o sistema aumentado inicial:

Passo 3

Eliminamos a primeira coluna abaixo do pivô :
R_{2} \leftarrow R_{2} - \left(2\right) R_{1} e R_{3} \leftarrow R_{3} - \left(2\right) R_{1}, resultando em

Passo 4

Tornamos o pivô da segunda linha positivo e igual a : R_{2} \leftarrow -1 \cdot R_{2}, e depois eliminamos as entradas de x_{2} em R_{1} e R_{3} pela combinação com R_{2}:
R_{1} \leftarrow R_{1} - \tfrac{3}{4} R_{2} e R_{3} \leftarrow R_{3} + \tfrac{3}{4} R_{2}. Ficamos com

Passo 5

Normalizamos o pivô da terceira linha e eliminamos em e :
R_{3} \leftarrow -4 \cdot R_{3} dá pivô 1, depois R_{1} \leftarrow R_{1} - \tfrac{1}{4} R_{3} e R_{2} \leftarrow R_{2} - 1 \cdot R_{3}, em seguida dividimos R_{2} por 4. O sistema fica

Resposta

A^-1 = -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 2 & 3 & -4

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