Seja A uma matriz quadrada. Mostre que:
Se A^3-A+I=0, então A é inversível.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A (digamos de ordem n) que satisfaz
A^3 - A + I = 0
O objetivo é mostrar que A é invertível. Para isso, vamos usar duas ideias:
  1. Como todo polinômio aplicado a matrizes respeita as mesmas operações de soma e produto, podemos manipular essa relação algébrica.
  2. Se uma matriz quadrada tem um inverso à direita ou um inverso à esquerda, então ela é invertível e esses inversos coincidem.

Passo 2

Reescrevendo a equação dada, isolamos A^3:
A^3 - A + I = 0 Longrightarrow A^3 = A - I

Passo 3

Com A^3 = A - I em mãos, computamos o produto (I - A^2)A:
(I - A^2),A = A - A^3
Como A^3 = A - I, temos
A - A^3 = A - (A - I) = I
Logo
(I - A^2),A = I,
o que mostra que I - A^2 é inverso à esquerda de A.

Passo 4

Agora verificamos o produto inverso à direita. Calculemos A,(I - A^2):
A,(I - A^2) = A - A^3
Mas já vimos que A - A^3 = I. Portanto
A,(I - A^2) = I,
o que diz que I - A^2 também é inverso à direita de A.

Passo 5

Como A é quadrada e possui inverso à esquerda e à direita iguais a I - A^2, concluímos que A é invertível. Além disso, identificamos explicitamente seu inverso:
A^-1 = I - A^2

Resposta

A matriz A é invertível, com
A^-1 = I - A^2

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