Seja
uma matriz quadrada. Mostre que:
Se
, então
é inversível.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
(digamos de ordem
) que satisfaz
O objetivo é mostrar que
é invertível. Para isso, vamos usar duas ideias:
- Como todo polinômio aplicado a matrizes respeita as mesmas operações de soma e produto, podemos manipular essa relação algébrica.
- Se uma matriz quadrada tem um inverso à direita ou um inverso à esquerda, então ela é invertível e esses inversos coincidem.
Passo 2
Reescrevendo a equação dada, isolamos
:
Passo 3
Com
em mãos, computamos o produto
:
Como
, temos
Logo
o que mostra que
é inverso à esquerda de
.
Passo 4
Agora verificamos o produto inverso à direita. Calculemos
:
Mas já vimos que
. Portanto
o que diz que
também é inverso à direita de
.
Passo 5
Como
é quadrada e possui inverso à esquerda e à direita iguais a
, concluímos que
é invertível. Além disso, identificamos explicitamente seu inverso:
Resposta
A matriz
é invertível, com