Considere o sistema linear
x1+3 x2+x3 & =4 2 x1+2 x2+x3 & =-1 2 x1+3 x2+x3 & =3
Usando a inversa da matriz A, determine a solução do sistema linear.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
que podemos escrever na forma matricial , onde
O conteúdo aqui é o cálculo da inversa de e, em seguida, a obtenção de .

Passo 2

Calculemos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdot2&13&1 -3cdot2&12&1 +1cdot2&22&3
Cada menor vale
2&13&1=2cdot1-1cdot3=-1, 2&12&1=2cdot1-1cdot2=0, 2&22&3=2cdot3-2cdot2=2
Logo,
det(A)=1cdot(-1)-3cdot0+1cdot2=-1+2=1

Passo 3

Como det(A)=1, basta calcular a matriz adjunta adj(A). Primeiro formamos a matriz dos cofatores C:
C= -1 & 0 & 2 0 & -1 & 4 1 & 1 & -4 ,
onde cada elemento Cij=(-1)^i+jMij e Mij é o menor correspondente. A adjunta é a transposta de C:
adj(A)=C^T = -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 2 & 4 & -4

Passo 4

A inversa de A é
A^-1=1det(A),adj(A) =adj(A) = -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 2 & 4 & -4

Passo 5

Finalmente, a solução é
x = A^-1b = -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 2 & 4 & -4 4-13
Fazendo o produto:
x1 = -1cdot4 + 0cdot(-1) + 1cdot3 = -4 + 3 = -1,
x2 = 0cdot4 + (-1)cdot(-1) + 1cdot3 = 1 + 3 = 4,
x3 = 2cdot4 + 4cdot(-1) + (-4)cdot3 = 8 - 4 - 12 = -8

Resposta

(x1,x2,x3) = (-1,,4,,-8)

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