Dado o triângulo ABC, seja X a interseção do lado AB com a bissetriz do ângulo interno de vértice C e sejam a=|C B| e b=|C A|.
Explique geometricamente por que C X é paralelo ao vetor
v=1b C A+1a C B

Passo 1

Em um triângulo ABC, a reta que divide internamente o ângulo ang<= ACB em duas partes iguais (bissetriz interna) intersecta o lado AB num ponto X. Dados os comprimentos
a=|CB|, b=|CA|,
queremos mostrar que CX é paralelo a
vec v=1b,CA+1a,CB
O instrumento principal será o Teorema da Bissetriz, que relaciona razões de segmentos em AB.

Passo 2

Pelo Teorema da Bissetriz interna, o ponto X divide AB segundo
AXXB ;=;ACBC;=;ba
Em particular, o comprimento de AX ao de AB é
AXAB ;=;ba+b

Passo 3

Isso nos permite escrever o vetor AX em função de AB:
AX =ba+b,AB

Passo 4

Agora expressamos CX somando vetorialmente
CX =CA+AX =CA+ba+b,AB

Passo 5

Mas AB=AC+CB=-CA+CB. Substituindo em CX
CX =CA +ba+bl(-CA+CBr) =a,CA+b,CB,a+b,

Passo 6

Observe que
vec v =1b,CA+1a,CB =a,CA+b,CBab
Logo
CX =ab,a+b,,vec v,
ou seja, CX é múltiplo escalar de vec v.

Resposta

Portanto CX é paralelo ao vetor vec v.

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