Uma matriz A de ordem n é chamada definida-positiva se x^T A x>0 para todo x in R^n não nulo ( x^T é o transposto do vetor x de tamanho n times 1). Mostre que a matriz A=(rr4 & -1 -1 & 4) é definida-positiva.

Passo 1

O enunciado pede pra gente mostrar que a matriz
A = 4 & -1 -1 & 4
é definida-positiva, ou seja, que para todo vetor não nulo x^T A x > 0 valha
Isso faz parte de Álgebra Linear, no tópico de formas quadráticas. Pra resolver, a gente vai montar a expressão e reescrever em soma de quadrados (completamento de quadrado) pra ver que nunca fica negativa.

Passo 2

Seja x1x2. Primeiro calculamos
x^T A x = x1 & x2 4 & -1 -1 & 4 x1x2
Multiplicando passo a passo:
A x = 4x1 - x2 -x1 + 4x2,
então
x^T A x = x1(4x1 - x2) + x2(-x1 + 4x2) = 4x1^2 - x1x2 - x1x2 + 4x2^2 = 4x1^2 - 2x1x2 + 4x2^2

Passo 3

Agora a gente faz um completamento de quadrado. Note que
(x1 - x2)^2 = x1^2 - 2x1x2 + x2^2
Logo,
4x1^2 - 2x1x2 + 4x2^2 = (x1 - x2)^2 + 3x1^2 + 3x2^2
Cada termo , e é sempre , e como , pelo menos um desses é . Então a soma é sempre .

Resposta

A matriz x^T A x = (x1 - x2)^2 + 3x1^2 + 3x2^2 > 0 é definida-positiva, pois
para todo .

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