Uma matriz
de ordem
é chamada definida-positiva se
para todo
não nulo (
é o transposto do vetor
de tamanho
). Mostre que a matriz
é definida-positiva.
Passo 1
O enunciado pede pra gente mostrar que a matriz
é definida-positiva, ou seja, que para todo vetor não nulo
valha
Isso faz parte de Álgebra Linear, no tópico de formas quadráticas. Pra resolver, a gente vai montar a expressão
e reescrever em soma de quadrados (completamento de quadrado) pra ver que nunca fica negativa.
Passo 2
Seja
. Primeiro calculamos
Multiplicando passo a passo:
então
Passo 3
Agora a gente faz um completamento de quadrado. Note que
Logo,
Cada termo
,
e
é sempre
, e como
, pelo menos um desses é
. Então a soma é sempre
.
Resposta
A matriz
é definida-positiva, pois
para todo
.