Determine as transformadas de Fourier dos sinais a seguir.
g(t)=e^{-4 t} \cos (5 t) u(t)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier do sinal g(t)=e^{-4 t}\cos(5 t)\,u(t). Informações dadas e que são relevantes:
  • A função é g(t)=e^{-4 t}\cos(5 t)\,u(t).
  • u(t) é o degrau unitário, isto é, u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge 0. Logo a função é causal (zero para t<0).
  • O pedido é a transformada de Fourier (transformada contínua em frequência \omega).

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier que vamos usar (convenção padrão):
G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Aqui:
  • G(\omega) é a transformada (uma função complexa de \omega);
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1);
  • \omega é a frequência angular (em rad/s).
    Como g(t) é nula para t<0 (devido a u(t)), a integral reduz-se a um integral de 0 a \infty.

Passo 3

Escrevemos a integral explicitamente usando que u(t) limita o tempo:
G(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-4t}\cos(5t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Vou simplificar essa integral usando uma identidade para o cosseno — isso deixa tudo bem direto.

Passo 4

Usamos a identidade exponencial para o cosseno:
\cos(5t)=\frac{e^{j5t}+e^{-j5t}}{2}.
Explicação rápida: essa é a representação complexa clássica do cosseno, obtida da soma das exponenciais complexas. Substituindo na integral:

Passo 5

Substituindo e separando a integral em duas partes:
G(\omega)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-4t}e^{-j\omega t}e^{j5t}\,dt +\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-4t}e^{-j\omega t}e^{-j5t}\,dt.
Agrupando os expoentes:
G(\omega)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-\bigl(4+j(\omega-5)\bigr)t}\,dt +\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-\bigl(4+j(\omega+5)\bigr)t}\,dt.

Passo 6

Agora usamos a fórmula básica de integração de exponencial decrescente: para um complexo a com \Re(a)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a}.
Aqui, em cada integral temos a_1=4+j(\omega-5) e a_2=4+j(\omega+5). Ambos têm parte real igual a 4>0, portanto a fórmula vale (as integrais convergem).

Passo 7

Aplicando a fórmula obtemos:
G(\omega)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4+j(\omega-5)}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4+j(\omega+5)}.
Essa é uma forma correta e bastante clara da transformada. Podemos também simplificar somando as frações para obter uma única expressão racional complexa.

Passo 8

Somando as frações:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4+j(\omega-5)}+\frac{1}{4+j(\omega+5)}\right) =\frac{4+j\omega}{\bigl(4+j(\omega-5)\bigr)\bigl(4+j(\omega+5)\bigr)}.
Para ver a simplificação rápida: o numerador resultante de somar as duas inversas e multiplicar por 1/2 é 4+j\omega. Podemos também expandir o denominador se quiser ver em termos de partes real e imaginária:
\bigl(4+j(\omega-5)\bigr)\bigl(4+j(\omega+5)\bigr)=(41-\omega^{2})+j\,8\omega.
Logo uma forma alternativa é
G(\omega)=\frac{4+j\omega}{(41-\omega^{2})+j\,8\omega}.

Resposta

G(\omega)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4+j(\omega-5)}+\frac{1}{4+j(\omega+5)}\right)
\text{(forma equivalente)}\quad G(\omega)=\frac{4+j\omega}{(41-\omega^{2})+j\,8\omega}

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