Determine as transformadas de Fourier dos sinais a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier do sinal
. Informações dadas e que são relevantes:
- A função é
. -
é o degrau unitário, isto é, para e para . Logo a função é causal (zero para ). - O pedido é a transformada de Fourier (transformada contínua em frequência
).
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier que vamos usar (convenção padrão):
Aqui:
-
é a transformada (uma função complexa de ); -
é a unidade imaginária ( ); -
é a frequência angular (em rad/s).
Comoé nula para (devido a ), a integral reduz-se a um integral de a .
Passo 3
Escrevemos a integral explicitamente usando que
limita o tempo:
Vou simplificar essa integral usando uma identidade para o cosseno — isso deixa tudo bem direto.
Passo 4
Usamos a identidade exponencial para o cosseno:
Explicação rápida: essa é a representação complexa clássica do cosseno, obtida da soma das exponenciais complexas. Substituindo na integral:
Passo 5
Substituindo e separando a integral em duas partes:
Agrupando os expoentes:
Passo 6
Agora usamos a fórmula básica de integração de exponencial decrescente: para um complexo
com
,
Aqui, em cada integral temos
e
. Ambos têm parte real igual a
, portanto a fórmula vale (as integrais convergem).
Passo 7
Aplicando a fórmula obtemos:
Essa é uma forma correta e bastante clara da transformada. Podemos também simplificar somando as frações para obter uma única expressão racional complexa.
Passo 8
Somando as frações:
Para ver a simplificação rápida: o numerador resultante de somar as duas inversas e multiplicar por
é
. Podemos também expandir o denominador se quiser ver em termos de partes real e imaginária:
Logo uma forma alternativa é