Considere um sistema linear e invariante no tempo com resposta ao impulso h(t)=e^-4 t u(t). Determine a expressão da saída y(t) deste sistema para uma entrada x(t)=e^-2 t u(t).

Passo 1

A questão é sobre um sistema LTI causal, com resposta ao impulso h(t)=e^-4tu(t) e entrada x(t)=e^-2tu(t). Vamos usar a definição de convolução de sinais contínuos para achar y(t)=h(t)*x(t).

Passo 2

Para um sistema causal, a convolução é dada por
y(t)=integral0^th(tau)x(t-tau),dtau
Substituindo h(tau)=e^-4tau e x(t-tau)=e^-2(t-tau), temos
y(t)=integral0^te^-4tau,e^-2(t-tau),dtau

Passo 3

Reorganizando o integrando,
y(t)=e^-2tintegral0^te^-4taue^2tau,dtau=e^-2tintegral0^te^-2tau,dtau
Agora integramos:
integral0^te^-2tau,dtau=[-tfrac12e^-2tau]0^t=1 - e^-2t2

Passo 4

Multiplicando pelo fator e^-2t, obtemos
y(t)=e^-2tcdot1 - e^-2t2=e^-2t-e^-4t2
Por ser sistema causal, incluímos u(t).

Resposta

y(t)=e^-2t-e^-4t2,u(t)

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