3^circ ) Questão (10, 0 ptos, onde cada item vale 2,5 ptos cada).
Dada a função vetorial r(t), calcule as seguintes integrais:
a) integral0^1(t, e^t) d t
b) integral-1^1(sen(3 t), 11+t^2, ln (2+t)) d t
c) integral0^pi / 4(sen^5(t), tg^4(t), t sen(t)) d t
d) integral0^1(t^2 e^3 t, t sen(t) cos (t)) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais de funções vetoriais da forma
integrala^br(t),dt,
onde cada componente de r(t) é integrada separadamente usando a linearidade da integral.

Passo 2

Para o item (a),
r(t) = l(t, e^tr),
então
integral0^1l(t,e^tr),dt =l(integral0^1t,dt,;integral0^1e^t,dtr) =l(tfrac12,,e-1r)

Passo 3

Para o item (b),
r(t) = l(sin(3t),,tfrac11+t^2,,ln(2+t)r)
Calculamos cada componente em [-1,1]:
  1. integral-1^1sin(3t),dt =l[-tfrac13cos(3t)r]-1^1 =-tfrac13l(cos3-cos(-3)r)=0
  2. integral-1^1tfrac11+t^2,dt =l[arctan(t)r]-1^1 =tfracpi4-l(-tfracpi4r) =tfracpi2
  3. integral-1^1ln(2+t),dt =integral1^3ln(u),du =l[uln u - ur]1^3 =(3ln3-3)-(0-1) =3ln3 -2
Logo o resultado é
l(0,;tfracpi2,;3ln3 -2r)

Passo 4

Para o item (c),
r(t) = l(sin^5t,;tan^4t,;tsin tr),
integrado em [0,pi/4]:
  1. integral0^pi/4sin^5t,dt. Use u=cos t, leva a
integral0^pi/4sin^5t,dt =integral1^raiz22(u^2-1)^2(-du) =l[tfracu^55-tfrac2u^33+ur]1^raiz22 =43raiz2120-815
  1. integral0^pi/4tan^4t,dt. Escreva tan^4t=(sec^2t-1)^2 e obtenha
integral0^pi/4tan^4t,dt =l[-tan t+tfractan^3t3+tr]0^pi/4 =pi4-23
  1. integral0^pi/4tsin t,dt. Por partes u=t, dv=sin t,dt:
integral0^pi/4tsin t,dt =l[-tcos t +sin tr]0^pi/4 =raiz22l(1-pi4r)
Assim o vetor é
l(tfrac43raiz2120-tfrac815,;tfracpi4-tfrac23,;tfracraiz22l(1-tfracpi4r)r)

Passo 5

Para o item (d),
r(t) = l(t^2e^3t,;tsin tcos tr),
em [0,1]:
  1. integral0^1t^2e^3t,dt. Por partes duas vezes chega-se a
integral0^1t^2e^3t,dt =l[e^3tl(tfract^23-tfrac2t9+tfrac227r)r]0^1 =5e^327-227
  1. integral0^1tsin tcos t,dt =tfrac12integral0^1tsin(2t),dt. Por partes:
=l[-tfractcos(2t)4+tfracsin(2t)8r]0^1 =-cos24+sin28
Logo
l(tfrac5e^327-tfrac227,;-tfraccos24+tfracsin28r)

Resposta

(a) l(tfrac12,;e-1r)
(b) l(0,;tfracpi2,;3ln3-2r)
(c) l(tfrac43raiz2120-tfrac815,;tfracpi4-tfrac23,;tfracraiz22(1-tfracpi4)r)
(d) l(tfrac5e^327-tfrac227,;-tfraccos24+tfracsin28r)

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