Dada a função vetorial r(t), calcule as seguintes derivadas:
r(t)=(t^t, tg^2(t), cotg^-1(t))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
r(t)=l(t^t,,tan^2(t),,cot^-1(t)r)
O conteúdo usado será: regra da cadeia, derivada de exponencial com base e expoente variáveis, e derivada de função trigonométrica inversa.

Passo 2

Para derivar x(t)=t^t, escrevemos
t^t=e^tln t
Usando a derivada de e^u(t) e a regra do produto em u(t)=tln t, temos
ddtt^t =ddte^tln t =e^tln t,ddt(tln t) =t^tl(ln t+1r)

Passo 3

Para derivar y(t)=tan^2(t), usamos a regra da cadeia: se y=(tan t)^2, então
dydt =2,tan(t),ddtl(tan tr) =2,tan(t),sec^2(t)

Passo 4

Para derivar z(t)=cot^-1(t) (arccotangente), lembramos que
ddtl(cot^-1(t)r) =-11+t^2

Resposta

r'(t) =l(t^t(ln t+1),;2tan(t),sec^2(t),;-tfrac11+t^2r)

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