O sinal x(t)=e^-a t u(t) é aplicado à entrada de um sistema passa-baixas com resposta em freqüência dada por
H(omega)=l 1,|omega|<omegac 0,|omega|>omegac
Determine o valor de omegac para que o sinal y(t) na saída do sistema contenha 95 % da energia de x(t).

Passo 1

O enunciado pede a frequência de corte omegac de um filtro ideal passa-baixa de modo que a saída retenha 95% da energia do sinal de entrada x(t)=e^-atu(t). O conteúdo é energia de sinais e fórmula da transformada de Fourier do decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro a gente calcula a energia total de x(t) no tempo usando Parseval (tempo). Como x(t)=e^-atu(t),

Passo 3

Ex=integral0^inftye^-2at,dt=[-12ae^-2at]0^infty=12a

Passo 4

Depois, vamos olhar a energia que passa pelo filtro em termos da transformada de Fourier. Sabemos que

Passo 5

X(jomega)=integral0^inftye^-ate^-jomega tdt=1a+jomega,

Passo 6

logo

Passo 7

|X(jomega)|^2=1a^2+omega^2

Passo 8

A energia retida pelo filtro ideal é

Passo 9

Ey=12piintegral-omegac^omegac|X(jomega)|^2,domega=1piintegral0^omegacdomegaa^2+omega^2

Passo 10

Fazendo a integral,

Passo 11

integral0^omegacdomegaa^2+omega^2=1aarctanl(omegacar),

Passo 12

portanto

Passo 13

Ey=1pi aarctanl(omegacar)

Passo 14

Queremos que Ey=0.95,Ex, ou seja

Passo 15

1pi aarctanl(omegacar)=0.95cdot12a

Passo 16

Cancelando 1/a dos dois lados e isolando a arctan,

Passo 17

arctanl(omegacar)=0.95cdotpi2=0.475,pi

Passo 18

Por fim, aplicando a tangente em ambos os lados, obtemos

Passo 19

omegaca=tan(0.475,pi)Longrightarrowomegac=a,tan(0.475,pi)

Resposta

omegac = a,tan(0.475,pi)approx 12.4,a

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