Considere o sistema linear:
[l dotx1 dotx2 ]=[cc 0 & 1 -1 & -1 ][l x1 x2 ]
que tem estado de equilíbrio em x=0. Determine a estabilidade pelo método de Lyaunov do estado de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema linear que descreve como duas variáveis, x1 e x2 , mudam ao longo do tempo. A equação é:
[c dotx1 dotx2 ]=[cc 0 & 1 -1 & -1 ][c x1 x2 ]
O ponto de equilíbrio desse sistema é quando x1 e x2 são iguais a zero. Queremos descobrir se esse ponto é estável ou não usando o Método de Lyapunov, que é uma técnica para analisar a estabilidade sem resolver diretamente o sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é estabilidade no contexto de sistemas dinâmicos. Um ponto de equilíbrio é estável se, começando perto desse ponto, o sistema não se afasta muito. Se além disso, o sistema sempre volta para esse ponto, dizemos que ele é assintoticamente estável.
O Método de Lyapunov nos ajuda a verificar essa estabilidade escolhendo uma função chamada função de Lyapunov. Essa função deve ser sempre positiva (exceto no ponto de equilíbrio) e sua derivada ao longo das trajetórias do sistema deve ser negativa (ou pelo menos não positiva).

Passo 3

Vamos escolher uma função de Lyapunov simples e comum para sistemas lineares, que é:
V(x) = x1^2 + x2^2
Essa função é sempre positiva, exceto quando x1 = 0 e x2 = 0 , onde ela é igual a zero. Isso atende à primeira condição da função de Lyapunov.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada dessa função em relação ao tempo, ou seja, dotV(x) . Para isso, usamos as equações do sistema:
dotx1 = x2
dotx2 = -x1 - x2
Aplicando a regra da cadeia, temos:
dotV(x) = 2x1 dotx1 + 2x2 dotx2 = 2x1 x2 + 2x2 (-x1 - x2)
Simplificando:
dotV(x) = 2x1 x2 - 2x1 x2 - 2x2^2 = -2x2^2

Passo 5

Observamos que dotV(x) = -2x2^2 é sempre menor ou igual a zero, porque x2^2 é sempre não negativo. Isso significa que a derivada da função de Lyapunov é negativa semi-definida.

Passo 6

A derivada negativa semi-definida indica que a energia do sistema não aumenta ao longo do tempo, mas pode não necessariamente diminuir para todas as direções. Porém, no nosso caso, como o sistema é linear e a derivada é negativa semi-definida com a matriz A tendo autovalores com partes reais negativas, podemos afirmar que o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável.

Resposta

O estado de equilíbrio em x = 0 é assintoticamente estável pelo método de Lyapunov.

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