Prove que a altura do tetraedro relativa à base é:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a altura do tetraedro A B C D em relação à base A B C pode ser expressa por
h ;=;l|l[A B,,A C,,A Dr]r|l|A Bwed>=A Cr|,
Para isso, vamos usar as seguintes ferramentas da álgebra vetorial:
– o produto misto l[vec b,vec c,vec dr]=vec bcdot(vec cwed>=vec d), cujo valor absoluto dá o volume do paralelepípedo de arestas vec b,vec c,vec d;
– que o volume do tetraedro é 1/6 do volume desse paralelepípedo;
– e que a área do triângulo A B C é tfrac12l|A Bwed>=A Cr|.

Passo 2

Defina
vec b=A B,;vec c=A C,;vec d=A D
O volume do paralelepípedo gerado por vec b,vec c,vec d é dado por
l|l[vec b,vec c,vec dr]r|
ou seja, o valor absoluto do produto misto.

Passo 3

Como o tetraedro A B C D ocupa exatamente um sexto desse paralelepípedo, seu volume V satisfaz
V = l|l[vec b,vec c,vec dr]r|6

Passo 4

A área da base A B C (triângulo de arestas vec b e vec c) é
A = 12,l|vec bwed>=vec cr|

Passo 5

Sabendo que o volume de um tetraedro também pode ser escrito como
V = 13,A,h
onde h é a altura relativa à base A B C, temos
V = 13,12l|vec bwed>=vec cr|;h ;=;l|vec bwed>=vec cr|6;h

Passo 6

Igualando as duas expressões para V:
l|l[vec b,vec c,vec dr]r|6 =l|vec bwed>=vec cr|6,h ;Longrightarrow; h=l|l[vec b,vec c,vec dr]r|l|vec bwed>=vec cr|

Resposta

h=l|l[A B,,A C,,A Dr]r| l|A Bwed>=A Cr|,

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