Prove que
.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que o produto misto
é igual a
O conteúdo usado será a multilinearidade (linearidade em cada argumento) e a propriedade alternante (anulamento quando dois argumentos coincidem) do produto misto, que coincide com o determinante formado pelas três colunas.
Passo 2
Usando a linearidade no primeiro argumento, expandimos
Passo 3
Em cada termo, usamos agora a linearidade no segundo argumento. Por exemplo,
De modo semelhante,
Passo 4
Aplicamos a propriedade alternante do produto misto, que diz que sempre que dois dos vetores forem iguais o resultado é zero. Assim,
Logo, todos os termos extra cancelam, sobrando apenas