Prove que [u+alpha v+beta w, v+gamma w, w]=[u, v, w].

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que o produto misto
[u+alphav+betaw,;v+gammaw,;w]
é igual a
[u,;v,;w]
O conteúdo usado será a multilinearidade (linearidade em cada argumento) e a propriedade alternante (anulamento quando dois argumentos coincidem) do produto misto, que coincide com o determinante formado pelas três colunas.

Passo 2

Usando a linearidade no primeiro argumento, expandimos
[u+alphav+betaw,;v+gammaw,;w] = [u,;v+gammaw,;w] +alpha[v,;v+gammaw,;w] +beta[w,;v+gammaw,;w]

Passo 3

Em cada termo, usamos agora a linearidade no segundo argumento. Por exemplo,
[u,;v+gammaw,;w] = [u,;v,;w] +gamma[u,;w,;w]
De modo semelhante,
[v,;v+gammaw,;w] =[v,;v,;w]+gamma[v,;w,;w],
[w,;v+gammaw,;w] =[w,;v,;w]+gamma[w,;w,;w]

Passo 4

Aplicamos a propriedade alternante do produto misto, que diz que sempre que dois dos vetores forem iguais o resultado é zero. Assim,
[v,;v,;w]=0, [u,;w,;w]=0, [v,;w,;w]=0, [w,;w,;w]=0, [w,;v,;w]=0
Logo, todos os termos extra cancelam, sobrando apenas
[u,;v,;w]

Resposta

[u+alphav+betaw,;v+gammaw,;w] =[u,;v,;w]

Exercícios relacionados