Use determinantes para determinar os valores de k para os quais o sistema possui:
(a) Solução única.
(b) Mais de uma solução.
(c) Nenhuma solução.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
k x + y + z = 1, x + k y + z = 1, x + y + k z = 1
e pede para identificar, em função de k, quando o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos usar determinantes (Regra de Cramer) para estudar a existência e unicidade de soluções.
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes:
A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
O determinante de A é
det(A) = kk & 11 & k -11 & 11 & k +11 & k1 & 1
Passo 3
Calculando cada menor:
det(A) &= k,(k^2-1);-;(1cdot k -1cdot1);+;(1cdot1 - kcdot1) &= k^3 - k - (k-1) + (1-k) &= k^3 - k - k +1 +1 - k &= k^3 - 3k + 2
Passo 4
Fatoramos o polinômio k^3 - 3k + 2. Observando que k=1 e k=-2 são raízes, obtemos
det(A) = (k-1)^2,(k+2)
Passo 5
Pela Regra de Cramer, o sistema tem solução única se, e somente se, det(A)neq0. Logo
det(A)neq0Long<=ftrightarrow kneq1e kneq-2
Passo 6
Para k=1 temos det(A)=0 e o sistema fica
x+y+z=1, x+y+z=1, x+y+z=1,
ou seja, todas as equações coincidem, gerando um grau de liberdade 2 e, portanto, infinitas soluções.
Passo 7
Para k=-2 temos det(A)=0 e o sistema fica
-2x+y+z=1, x-2y+z=1, x+y-2z=1
Somando as três equações:
(-2x+x+x)+(y-2y+y)+(z+z-2z)=3 Longrightarrow 0=3,
o que é uma contradição. Logo, não há solução.
Resposta
(a) Solução única para kneq1 e kneq-2.
(b) Mais de uma solução para k=1.
(c) Nenhuma solução para k=-2.