Dada a matriz A=[cccc1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4], determine:
(a) det A
(b) det A^T
(c) det(A^2)
(d) det(-A)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
e pede
(a) det A
(b) det A^T
(c) det(A^2)
(d) det(-A).
O conteúdo envolve cálculo de determinante por eliminação de Gauss e depois uso das propriedades de determinantes: invariância pela transposição, produto e multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos calcular det A por eliminação de Gauss, usando apenas operações do tipo linha linha + mú<iplo de outra linhaú (que não alteram o determinante):
Inicialmente
1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
Eliminando abaixo do pivô 1 (linha 1):
L2 L2 + L1 Rightarrow (0,7,-3,7)
L3 L3 - 6 cdot L1 Rightarrow (0,-23,9,-19)
L4 L4 - 5 cdot L1 Rightarrow (0,-22,5,-11)
Fica
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11
Eliminando abaixo do pivô 7 (linha 2):
L3 L3 + (237) cdot L2 Rightarrow (0,0,-67,4)
L4 L4 + (227) cdot L2 Rightarrow (0,0,-317,11)
Fica
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & 0 & -tfrac67 & 4 0 & 0 & -tfrac317 & 11
Por fim, eliminando abaixo do pivô -6/7 (linha 3):
Fator = -tfrac317-tfrac67 = 316
L4 L4 - (316) cdot L3 Rightarrow (0,0,0,-293)
A matriz triangular final é
1 & * & * & * 0 & 7 & * & * 0 & 0 & -tfrac67 & * 0 & 0 & 0 & -tfrac293 ,
e como só usamos operações que preservam o determinante, temos
det A = 1 times 7 times l(-tfrac67r) times l(-tfrac293r) = -6 times l(-tfrac293r) = tfrac1743 = 58

Passo 3

Usando a propriedade det(A^T)=det A, temos
det A^T = 58

Passo 4

Como det(AB)=det Acdotdet B, segue
det(A^2)=det(Acdot A)=det A;det A=58^2=3364

Passo 5

Para a multiplicação por escalar vale det(lambda A)=lambda^ndet A em dimensão n. Aqui n=4 e lambda=-1, logo
det(-A)=(-1)^4det A=1cdot58=58

Resposta

(a) det A = 58
(b) det A^T = 58
(c) det(A^2) = 3364
(d) det(-A) = 58

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