Dada a matriz
, determine:
(a)
det A
(b)
det A^T
(c)
det(A^2)
(d)
det(-A)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede
(a)det A
(b)det A^T
(c)det(A^2)
(d)det(-A) .
O conteúdo envolve cálculo de determinante por eliminação de Gauss e depois uso das propriedades de determinantes: invariância pela transposição, produto e multiplicação por escalar.
(a)
(b)
(c)
(d)
O conteúdo envolve cálculo de determinante por eliminação de Gauss e depois uso das propriedades de determinantes: invariância pela transposição, produto e multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos calcular
det A por eliminação de Gauss, usando apenas operações do tipo
linha linha + mú<iplo de outra linha ú (que não alteram o determinante):
Inicialmente
Eliminando abaixo do pivô
1 (linha
1 ):
L2 L2 + L1 Rightarrow (0,7,-3,7)
L3 L3 - 6 cdot L1 Rightarrow (0,-23,9,-19)
L4 L4 - 5 cdot L1 Rightarrow (0,-22,5,-11)
Fica
Fica
Eliminando abaixo do pivô
7 (linha
2 ):
L3 L3 + (237) cdot L2 Rightarrow (0,0,-67,4)
L4 L4 + (227) cdot L2 Rightarrow (0,0,-317,11)
Fica
Fica
Por fim, eliminando abaixo do pivô
-6/7 (linha
3 ):
Fator = -tfrac317-tfrac67 = 316
L4 L4 - (316) cdot L3 Rightarrow (0,0,0,-293)
A matriz triangular final é
e como só usamos operações que preservam o determinante, temos
Passo 3
Usando a propriedade
det(A^T)=det A , temos
Passo 4
Como
det(AB)=det Acdotdet B , segue
Passo 5
Para a multiplicação por escalar vale
det(lambda A)=lambda^ndet A em dimensão
n . Aqui
n=4 e
lambda=-1 , logo
Resposta
(a)
det A = 58
(b)det A^T = 58
(c)det(A^2) = 3364
(d)det(-A) = 58
(b)
(c)
(d)