Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
barr(t)=(e^prime cos t, e^i sen t, e^prime)

Passo 1

A gente tem a curva bar r(t)=(e^tcos t,;e^tsin t,;e^t) e quer reparametrizar pelo comprimento de arco, isto é, achar s tal que s(t)=integralt0^t|bar r,'(u)|,du e depois inverter s(t) para obter t(s).

Passo 2

Vamos calcular a derivada e o módulo da velocidade. Derivando componente a componente:
bar r,'(t)=l(e^t(cos t-sin t),;e^t(sin t+cos t),;e^tr)
Então o quadrado do módulo é
|bar r,'(t)|^2=e^2tl[(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2+1r] =e^2t(2+1)=3e^2t
Logo |bar r,'(t)|=raiz3,e^t.

Passo 3

Escolhendo como ponto inicial t0=0, temos
s(t)=integral0^traiz3,e^u,du=raiz3l(e^t-1r)

Passo 4

Invertendo a relação para achar t em função de s:
e^t=1+sraiz3 Longrightarrow t(s)=lnl(1+sraiz3r)

Passo 5

Por fim, substituímos t(s) em bar r(t) para obter a parametrização em função de s:
bar r(s)=l(e^t(s)cos t(s),;e^t(s)sin t(s),;e^t(s)r) =l(l(1+tfracsraiz3r)coslnl(1+tfracsraiz3r),;l(1+tfracsraiz3r)sinlnl(1+tfracsraiz3r),;1+tfracsraiz3r)

Resposta

bar r(s)=l(l(1+tfracsraiz3r)coslnl(1+tfracsraiz3r),;l(1+tfracsraiz3r)sinlnl(1+tfracsraiz3r),;1+tfracsraiz3r), com s>=0.

Exercícios relacionados