Considere o sistema linear
S:\left\{\begin{aligned} 3 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}+13 x_{4} & =15 \\\ x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}-5 x_{4} & =-2 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{3}+26 x_{4} & =23 \end{aligned}\right.
a) Encontre a forma escalonada do sistema linear S_{1}.

Solução:

\begin{aligned} & S \sim^{L_{1} \leftrightarrow L_{2}}\left\{\begin{aligned} x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}-5 x_{4} & =-2 \\\\ 3 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}+13 x_{4} & =15 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{3}+26 x_{4} & =23 \end{aligned}\right. \\\ & \sim_{L_{3} \rightarrow L_{3}-2 L_{1}}^{L_{2} \rightarrow L_{2}-3 L_{1}}\left\{\begin{aligned} x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}-5 x_{4} & =-2 \\\\ 7 x_{3}+28 x_{4} & =21 \\\\ 9 x_{3}+36 x_{4} & =27 \end{aligned}\right. \\\ & \sim_{L 3 \rightarrow L_{3}-2 L_{1}}^{L_{2} \rightarrow \frac{1}{7} L_{2}}\left\{\begin{aligned} x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}-5 x_{4} & =-2 \\\ x_{3}+4 x_{4} & =3 \\\\ 9 x_{3}+36 x_{4} & =27 \end{aligned}\right. \\\ & \sim_{L_{3} \rightarrow L_{3}-9 L_{2}}^{L_{1} \rightarrow L_{1}+2 L_{2}}\left\{\begin{array}{lrl} x_{1}-2 x_{2} & +3 x_{4} & =4 \\\ & & x_{3}+4 x_{4} \end{array}=30\right. \end{aligned}
que é a forma escalonada de S.
b) Determine o conjunto-solução de S.
Solução: S_{1} é um sistema linear com 4 incógnitas e sua forma escalonada tem 2 equações. Então temos 2 variáveis livres. Tomando x_{2} e x_{4} como variáveis livres, obtemos x_{1}=2 x_{2}-3 x_{4}+4 e x_{3}=-4 x_{4}+3. Assim, o conjunto-solução de S_{1} é
\left\{\left(2 x_{2}-3 x_{4}+4, x_{2},-4 x_{4}+3, x_{4}\right) \mid x_{2}, x_{4} \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
S:\begin{cases} 3x_{1}-6x_{2}+x_{3}+13x_{4}=15,\\\ x_{1}-2x_{2}-2x_{3}-5x_{4}=-2,\\\\ 2x_{1}-4x_{2}+5x_{3}+26x_{4}=23, \end{cases}
com quatro incógnitas e três equações. Para encontrar a forma escalonada S_{1} usamos o método de eliminação de Gauss: trocas de linha, pivôs e eliminação para zerar as entradas abaixo dos pivôs.

Passo 2

Primeiro trocamos L_{1}\) e \(L_{2}$ para ter pivô 1 em \(x_{1}\), depois eliminamos \(x_{1}\) em \(L_{2}\) e \(L_{3}\): \(L_{1}\leftrightarrow L_{2}\) dá \[\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-2x_{3}-5x_{4}=-2,\\\\ 3x_{1}-6x_{2}+x_{3}+13x_{4}=15,\\\\ 2x_{1}-4x_{2}+5x_{3}+26x_{4}=23, \end{cases}
em seguida
L_{2}\to L_{2}-3L_{1}\] e \(L_{3}\to L_{3}-2L_{1} geram
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-2x_{3}-5x_{4}=-2,\\\\ 7x_{3}+28x_{4}=21,\\\\ 9x_{3}+36x_{4}=27. \end{cases})

Passo 3

Agora tornamos o pivô de L_{2} igual a 1 dividindo por 7 e eliminamos x_{3} em L_{3}:
L_{2}\to \tfrac{1}{7}L_{2} e depois L_{3}\to L_{3}-9\,L_{2} dão
S_{1}:\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-2x_{3}-5x_{4}=-2,\\\ x_{3}+4x_{4}=3,\\\\ 0=0. \end{cases}
Essa é a forma escalonada do sistema.

Passo 4

Para o conjunto-solução, identificamos que x_{2} e x_{4} são variáveis livres. Da segunda equação vem
x_{3}=-4x_{4}+3,
e, substituindo em L_{1},
x_{1}-2x_{2}-2(-4x_{4}+3)-5x_{4}=-2 \;\Longrightarrow\; x_{1}=2x_{2}-3x_{4}+4.

Resposta

A forma escalonada S_{1}\) é \[\begin{cases} x_{1}-2x_{2}-2x_{3}-5x_{4}=-2,\\\ x_{3}+4x_{4}=3,\\\\ 0=0. \end{cases}
O conjunto-solução de (S] é
\left\{\bigl(2x_{2}-3x_{4}+4,\;x_{2},\;-4x_{4}+3,\;x_{4}\bigr)\mid x_{2},x_{4}\in\mathbb{R}\right\}.

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