Nos sistemas lineares abaixo, a partir da forma escalonada, determine se o sistema tem solução única, não possui solução ou admite infinitas soluções. Se tiver solução única, determine a solução; se possuir infinitas soluções, descreva o conjunto-solução do sistema.
11. \{\begin{aligned} 2 x+7 y+3 z & =11 \\ x+3 y+2 z & =2 \\ 3 x+7 y+9 z & =-12\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 2x+7y+3z=11,\\\ x+3y+2z=2,\\\\ 3x+7y+9z=-12, \end{cases}
e pede que identifiquemos se há solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss, em que vamos escalonar o sistema para descobrir o tipo de solução e, se existir solução única, calcular (x,y,z).

Passo 2

Escolhemos a segunda equação como pivô para isolar x. Da equação
x+3y+2z=2
temos
x = 2 - 3y - 2z.

Passo 3

Substituímos x=2-3y-2z nas outras duas equações.
Na primeira:
2(2-3y-2z)+7y+3z=11,
e na terceira:
3(2-3y-2z)+7y+9z=-12.

Passo 4

Simplificando cada uma, obtemos o sistema em y e z:
y - z = 7,
-2y + 3z = -18.
Agora temos um sistema 2\times2.

Passo 5

Da primeira equação tiramos y = z + 7. Substituindo na segunda:
-2(z+7) + 3z = -18 \implies -2z -14 +3z = -18 \implies z -14 = -18 \implies z = -4.
Logo y = -4 + 7 = 3. Finalmente, voltando em
x = 2 - 3y - 2z = 2 - 9 + 8 = 1.

Resposta

O sistema tem solução única, que é
(x,y,z) = (1,\,3,\,-4).

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