Nos sistemas lineares abaixo, a partir da forma escalonada, determine se o sistema tem solução única, não possui solução ou admite infinitas soluções. Se tiver solução única, determine a solução; se possuir infinitas soluções, descreva o conjunto-solução do sistema.
13. \{\begin{array}{l}3 x+9 y+7 z=0 \\ 2 x+7 y+4 z=0 \\ 2 x+6 y+5 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} 3x+9y+7z=0,\\\\ 2x+7y+4z=0,\\\\ 2x+6y+5z=0, \end{cases}
e pede para, a partir da forma escalonada (eliminação de Gauss), determinar se há solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Se for única, queremos o valor de x, y e z; se for infinita, descrever o conjunto-solução.

Passo 2

Escolho a primeira equação como pivô e elimino x de R_2 e R_3 fazendo
\;R_2' = 3R_2 - 2R_1; e
\;R_3' = 3R_3 - 2R_1.
Isso gera os sistemas auxiliares
R_2':\;3y - 2z = 0,
R_3':\;z = 0.

Passo 3

Da equação R_3' obtemos
z = 0.
Substituindo em R_2' temos
3y - 2\cdot 0 = 0 \quad\implies\quad y = 0.

Passo 4

Agora substituo y=0 e z=0 na primeira equação original
3x + 9\cdot 0 + 7\cdot 0 = 0 \quad\implies\quad x = 0.

Resposta

O sistema tem solução única, dada por (x,y,z)=(0,0,0).

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